Индуктивно связанные электрические цепи. Основные понятия

 

У двух индуктивных катушек с токами i₁ и i₂, достаточно близко

расположенными относительно друг друга, часть магнитных линий одной катушки может быть сцеплена с витками другой катушки и наоборот (рисунок 3.27).

 

Рисунок 3.27 – Магнитные потоки в индуктивно связанных катушках

 

« таком случае полный магнитный поток каждой катушки состоит из собственного потока (потока рассеяния)и потока взаимной индукции:

 

Φ1 = Φ11 +Φ12 , Φ2 = Φ22 +Φ21 ,

(3.122)

 

 

 

87

где Φ₁ , Φ₂ — полные магнитные потоки катушек, Φ₁₁ , Φ₂₂ — потоки рассеяния (самоиндукции), Φ₁₂ , Φ₂₁ — потоки взаимоиндукции. При этом Φ₁₂ обозначает магнитный поток в первой катушке, обусловленный током i₂ во второй катушке; Φ₂₁ — наоборот, магнитный поток во второй катушке, обусловленный током i₁ в первой катушке (рисунок 3.27).

 

При числах витков в катушках w₁ и w₂ потокосцепление самоиндукции Ψ₁₁ первой катушки и потокосцепление взаимной индукции Ψ₁₂ по определению равны:

Ψ11= w1Φ11,

Ψ12= w1Φ12.

(3.123)

Аналогично для второй катушки потокосцепления Ψ22 и Ψ21 равны:

Коэффициенты

Ψ22= w2Φ22,

Ψ21= w2Φ21.

(3.124)

Ψ11

w1Φ11

Ψ22

w2Φ22

L

=

=

,

L

=

=

(3.125)

1

i1

i1

2

i2

i2

определяют индуктивности первой и второй катушек, а величины

M12

=

Ψ12

=

w1Φ12

,

M 21=

Ψ21

=

w2Φ21

(3.126)

i1

i1

i2

i2

— соответствующие взаимные индуктивности. Коэффициент M₁₂ называется взаимной индуктивностью первой и второй катушек; M ₂₁— взаимной индуктивностью второй

В первой катушек.Для линейных электрических цепей взаимная индуктивность M₁₂= M ₂₁= M и зависит от геометрических размеров,числа витков и взаимногорасположения катушек.

 

Согласное и встречное включение катушек индуктивности. Степень

 

В коэффициент связи

индуктивно связанных катушках различают согласное и встречное их включение,где под словом«включение»понимают не электрическое соединениекатушек, а механизм взаимодействия их магнитных потоков.

Согласным называют такое включение катушек,при котором их магнитныепотоки, т.е. потоки рассеяния и взаимоиндукции, имеют одинаковое направление.

 

Встречным называют такое включение катушек,при котором их магнитныепотоки рассеяния и взаимоиндукции имеют встречное направление.

Полные потокосцепления Ψ₁и Ψ₂каждой из двух индуктивно связанныхкатушек, следовательно, содержат по две составляющие Ψ₁₁ , Ψ₁₂ или Ψ₂₂ , Ψ₂₁ , которые

 

могут складываться или вычитаться в зависимости от их способа включения. Полное потокосцепление первой катушки

 

Ψ1=Ψ11±Ψ12= w1Φ11± w1Φ12= L1i1± Mi2	(3.127)
и полное потокосцепление второй катушки
Ψ2=Ψ22±Ψ21= w2Φ22± w2Φ21= L2i2± Mi1,	(3.128)

где знак «+» соответствует согласному включению, а знак «–» — встречному включению.

 

На схемах замещения цепей для определения характера включения индуктивно связанных катушек их одноименные зажимы помечают одинаковым символом, например, « y », « Š », « * » и др. В таком случае катушки считают включенными

 

88

согласно, если их токи относительно одноименных зажимов направлены одинаково (рисунок 3.28, а); если же токи относительно одноименных зажимов направлены по-разному, катушки считают включенными встречно (рисунок 3.28, б).

 

а)                                                                                                      б)

 

Рисунок 3.28 – Обозначение согласного (а) и встречного (б) включения индуктивно связанных катушек на схемах замещения

 

Два зажима, принадлежащих двум разным индуктивно связанным катушкам, называют одноименными и обозначают одинаковыми символами, руководствуясь следующим правилом: при одинаковом направлении токов относительно одноименных зажимов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в каждой катушке должны суммироваться.

 

Примеры определения одноименных зажимов у двух соосных катушек приведены на рисунках 3.29 и 3.30 . На рисунке 3.29 символом « y » показана маркировка одноименных зажимов для катушек с одинаковым направлением намотки, на рисунке 3.30 — с разным направлением намотки.

 

а)                                              б)                                              а)                                              б)

 

Рисунок 3.29 – Индуктивно связанные                  Рисунок 3.30 – Индуктивно связанные

катушки с одинаковым                                                      катушки с разным

направлением намотки                                                      направлением намотки

при согласном (а)                                                                  при встречном (а)

и встречном (б)                                                                       и согласном (б)

включении                                                                                 включении

 

При изменении токов в катушках изменяются и магнитные потоки. При этом по закону электромагнитной индукции в каждой катушке будет индуцироваться ЭДС.В

 

первой катушке ЭДС

d Ψ1

d (Ψ11±Ψ12)

e

= −

= −

= e

± e

(3.129)

1

dt

dt

11

12

и во второй катушке ЭДС

d Ψ2

d (Ψ22±Ψ21)

e

= −

= −

= e

± e ,

(3.130)

2

dt

dt

22

21

где

d Ψ11

di1

d Ψ22

di2

e

= −

=−L

,

e

= −

=−L

(3.131)

dt

dt

11

dt

1

dt

22

2

— ЭДС самоиндукции соответственно первой и второй катушек,

 

89

e

= −

d Ψ12

=−M

di2

,

e

= −

d Ψ21

=−M

di1

(3.132)

12

dt

dt

21

dt

dt

— ЭДС взаимоиндукции катушек.

Отношение ЭДС взаимной индукции к ЭДС самоиндукции, созданных одним током, называют степенью связи:

k	=	e12	= − M di2
12		e22	− L2 di2

— степень связи первой катушки со второй;

k21	=	e21	=	− M di1
		e11
				− L1 di1

— степень связи второй катушки с первой.

 

dt ₌ M

dt    L₂

 

dt ₌ M

dt    L₁

 

 

(3.133)

 

(3.134)

 

Степень индуктивной связи показывает , какая часть магнитного потока одной катушки проходит через витки другой катушки (при отсутствии тока в ней).

 

Отношение взаимной индуктивности M катушек к среднему геометрическому их индуктивностей L₁ и L₂ называют коэффициентом связи катушек:

K =	M
	L L .		(3.135)
	1	2

Коэффициент связи всегда меньше единицы и может равняться единице лишь в теоретическом случае полного совпадения катушек, когда весь поток одной сцеплен с витками другой.

Примечание –Из  сравнения выражений   (3.133) – (1.135)  следует, что

 

коэффициент связи K можно также определить как среднее геометрическое степеней

 

связи k₁₂ и k₂₁ :

 

K =  k₁₂k₂₁.                                                                      (3.136)

 

3.14.3 Последовательное соединение индуктивно связанных катушек Последовательное соединение двух индуктивно связанных катушек показано на

рисунке 3.31.

 

 

а)                                                                                                      б)

 

Рисунок 3.31 – Последовательное соединение индуктивно связанных катушек при согласном (а) и встречном (б) включении

 

Пусть к зажимам цепи приложено синусоидально напряжение u , под действием которого в этой цепи возникает ток i . На основании 2-го закона Кирхгофа можем записать:

 

u = u1+ u2,

(3.137)

 

 

90

u = iR + L

di

± M

di

,

u

= iR + L

di

± M

di

,

(3.138)

dt

dt

1

1 1 dt

2

2 2 dt

где знак «+» перед слагаемым M di dt соответствует согласному включению катушек(рисунок 3.31, а); знак «–» — их встречному включению (рисунок 3.31, б). Величины R₁ и R₂ в уравнениях (3.138) обозначают активные сопротивления катушек; L₁ и L₂ — их

индуктивности; M — взаимную индуктивность.

 

При синусоидально изменяющемся токе в цепи от соотношений (3.137), (3.138)

можно перейти к комплексным изображениям величин:
		U&= U&1+U&2,				(3.139)
	U&1= R1I&+ j ω(L1± M )I&,			U&2= R2 I&+ j ω(L2± M )I&.		(3.140)
Обозначая	X1= ω L1и	X 2= ω L2	— реактивные сопротивления самих катушек,
X M = ω M —	реактивное	сопротивление			взаимоиндукции, уравнения	(3.140)
перепишем так:	U&1= R1I&+ j( X1± X M )I&,			U&2= R2 I&+ j(X 2± X M )I&.
						(3.141)
Подставляя (3.141) в (3.139), получим уравнение
	U&=( R1+ R2)I&+ j(X1+ X 2±2X M )I&=(R экв + jX экв )I&,					(3.142)
в котором величины
	R экв = R1+ R2,		X экв		= X1+ X 2±2 X M	(3.143)

определяют соответственно полное активное и полное реактивное сопротивления последовательной цепи. Полное комплексное сопротивление этой цепи согласно (3.142) равно:

Z

экв

=

U&

= R

+ jX

.

(3.144)

I&

экв

экв

Из (3.144) следует выражение закона Ома в комплексной форме для

последовательной цепи с индуктивно связанными элементами (катушками):

I&=

U&

.

(3.145)

Z

экв

Обозначим полное реактивное сопротивление цепи при согласном включении катушек символом X _согл ; при встречном включении — символом X _встр . Из формул

 

(3.143) следует:

 

X _согл = X₁+ X ₂+2X _M , X _встр = X₁+ X ₂−2X _M ,                 (3.146)

 

т.е. X _согл > X _встр , что на основании закона Ома (3.145) позволяет сформулировать

 

простое правило для экспериментального определения характера включения индуктивно связанных катушек в случае их последовательного соединения: при неизменном напряжении в цепи встречному включению катушек соответствует ток большей величины в сравнении с их согласным включением.

 

Из формул (3.146) также следует простой способ экспериментального определения величины коэффициента взаимной индуктивности M :

M =	X согл − X встр	.	(3.147)
	4ω

 

 

 

91

На рисунке 3.32 показаны векторные диаграммы для согласного (рисунок 3.32, а)

 

а встречного (рисунок 3.32, б) включения индуктивно связанных катушек при одинаковых значениях тока I^& в обоих случаях.

 

 

а)                                                                                                      б)

 

Рисунок 3.32 – Векторные диаграммы токов и напряжений для согласного (а) и встречного (б) включения индуктивно связанных катушек при их последовательном соединении

 

Указанные диаграммы построены на основании уравнений (3.141), (3.142).

 

3.14.4 Параллельное соединение индуктивно связанных катушек Параллельное соединение двух индуктивно связанных катушек показано на

рисунке 3.33.

 

а)                                                                                                      б)

 

Рисунок 3.33 – Параллельное соединение индуктивно связанных катушек при согласном (а) и встречном (б) включении

 

Пусть к зажимам цепи приложено синусоидально напряжение u , под действием которого в ветвях этой цепи возникают токи i , i₁ и i₂ . На основании 2-го закона

 

92

Кирхгофа для двух контуров, образованных источником энергии и каждой из параллельных ветвей, получаем следующую систему уравнений:

u = i R

+ L

di1

± M

di2

,

u

= i R

+ L

di2

± M

di1

,

(3.148)

1

1

1

dt

dt

2

2

2 dt

dt

где знак «+»

перед

слагаемыми

M di1

dt

и

M di2

dt

соответствует

согласному

включению катушек

(рисунок

3.33,

а);

знак «–» — их встречному включению

(рисунок 3.33,

б).

Величины R1 и R2 в

уравнениях

(3.148) обозначают активные

сопротивления катушек; L1 и L2

— их индуктивности; M — взаимную индуктивность.

При синусоидально изменяющемся токе в цепи от соотношений (3.148) можно

перейти к комплексным изображениям величин:

U&= R1I&1+ j ω L1I&1± j ω MI&2,

U&= R2 I&2+ j ω L2 I&2± j ω MI&1.

(3.149)

Обозначая

Z

1= R1+ j ω L1

и

Z

2= R2+ j ω L2

—

полные

комплексные

сопротивления катушек,

Z

M = j ω M

— комплексное сопротивление взаимоиндукции,

уравнения (3.149) перепишем так:

U&=

Z

1I&1±

Z

M I&2,

U&= ±

Z

M I&1+

Z

2 I&2.

(3.150)

Решив систему уравнений (3.150) относительно токов I&1

и I&2 , получим

Z

1

±

Z

M

Z

Z

2

=

±

Z

Z

=

1

2 −

Z

M ,

M

2

&

±

Z

Z

&

=

U

M

=

&

Z

Z

=

1

U

=

&

Z

Z

1

&

Z

U (

2

m

M ),

2

±

Z

&

U (

1 m

M ),

U

2

M

U

&

Z

Z

M )

&

M )

I&

=

1

=

U

(

2 m

,

I&

=

2

=

U (

Z

1 m

Z

.

(3.151)

Z

Z

Z

1

1

2 −

2M

2

Z

1

Z

2 −

Z

2M

Ток I& в неразветвленной части цепи

можно получить согласно

1-му закону

Кирхгофа:

I&= I&1+ I&2

или, учитывая (3.151),

(3.152)

&

Z

+

Z

Z

M )

I&=

U (

1

2 m 2

.

(3.153)

Z

1

Z

2 −

Z

2M

 

а)                                                                                                      б)

 

Рисунок 3.34 – Векторные диаграммы токов и напряжений для согласного (а) и встречного (б) включения индуктивно связанных катушек при их параллельном соединении

 

93

На рисунке 3.34 показаны векторные диаграммы для согласного (рисунок 3.34, а)

 

6) встречного (рисунок 3.34, б) включения индуктивно связанных катушек. Эти диаграммы построены на основании уравнений (3.150), (3.152).

 

Из сравнения формул (3.151) следует, что токи в параллельных ветвях при согласном включении индуктивно связанных катушек меньше, чем при их встречном включении (знак«–»в числителях формул(3.151)соответствует согласному включениюкатушек; знак «+» — встречному включению).

 

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 481; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!