МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ. ОБЪЕМ И СОДЕРЖАНИЕ ПОНЯТИЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ ЧЕРЕЗ РОД И ВИДОВОЕ ОТЛИЧИЕ.
Теоретические основы начального курса математики
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ
МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.
ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ. ПОНЯТИЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВА НА КЛАССЫ.
В математике часто приходится рассматривать те или иные группы объектов как единое целое: числа от 1 до 10, натуральные числа, треугольники, квадраты и т.д.. Все эти различные совокупности называют множествами.
Считают,ч то множество определяется своими элементами, т.е. множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству, либо не пренадлежит.
Существует 2 способа задания множества:
· Перечисление. Н-р, если мы скажем, что множество А состоит из чисел 3,4,5,6, то мы зададим это множество, поскольку всего его элементы окажутся перечисленными.
· Характеристическое свойство элементов- это такое своойство, которым обладает каждый элемнет, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.
Разбиение на классы.
Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации. Классификация- это действие распределения объектов по классам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от объектов других классов.
Любая классификация связана с расчленением некоторого множества объетов на подмножества. Если при этом каждый элемент данного множетсва попадает в одно и только одно подмножество, а объединение всех выделенных подмножеств совпадает со всем множество, то говорят, что данное множество разбито на непересекающиеся подмножества или классы.
|
|
|
Считают, что множество Х разбито на классы Х1, Х2, …, Хn, если:
· Подмножества Х1, Х2, …, Хn попарно не пересекаются;
· Объединение подмножеств Х1, Х2, …, Хn совпадает с множеством Х.
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ (ПЕРЕСЕЧЕНИЕ, ОБЪЕДИНЕНИЕ, ДОПОЛНЕНИЕ).
Из элементов двух и более множеств можно образовать новые множества. Считают, что эти множества являются результатом операций над множествами, которые в свою очередь, следует рассматривать как обобщение операций, выполняемых над различными совокупностями. В частности таких, как нахождение общих элементов двух и более множеств,объединени двух и более совокупностей в одну, удаление из совокупности ее части в другие.
Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.
Объединением множеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
|
|
|
Пусть В принадлежит А. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.
ДЕКАРТОВО УМНОЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ИЗОБРАЖЕНИЕ ЕГО НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ.
Декартово произведениемножеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В (АхВ).
Операцию при помощи которой находят декартово произведение, называется декартовым умножением множеств. Декартово умножение не обладает переместительным свойством, т.е. существуют такие множества А и В, что АхВ не равно ВхА.
Декартовым произведением множеств А1, А2,…, Аn, называется множество кортежей длин n, образованных так, что первая компонента кортежа принадлежит множеству А1, вторая- множеству А2,…, n-я- множеству Аn.
Наглядное изображение декартова произведения двух числовых множеств можно получить при помощи координатной плоскости.
Координатная прямая- это прямая с заданным на ней началом отсчета, единицей длины и положительным направлением. С введением координатной прямой устанавливается связь между точкками прямой и действительными числами: каждой точке М координатной прямой соответствует единственное действительное число х – координата этой точки.
|
|
|
Плоскость с построенным в нейосями координат, имеющими общее начало отсчета (точку пересечения этих прямых) и одну и ту же единицу длины, называют координатной плоскостью.Прямоугольная система координат позволяет каждой точке плоскости поставить в соответствии единственную пару действительных чисел – координат этой точки.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ. ОБЪЕМ И СОДЕРЖАНИЕ ПОНЯТИЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ ЧЕРЕЗ РОД И ВИДОВОЕ ОТЛИЧИЕ.
Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Н-р, квадрат имеет 4 стороны,4 прямых угла, равные диагонали.
Среди свойтсв объекта различают свойтсва:
· Существенные- свойтсво считают существеным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать;
· Несущественные- это такие свойтсва, отсутствие которых не влияет на существование объекта. Н-р, сторона АВ квадрата АВСД горизонтальна.
Если квадрат АВСД повернуть, то сорона Ад окажется расположенной по другому. Поэтому, чтобы понимать, что представляет собой данный объект достаточно знать его сущетсвенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте.
|
|
|
Совокупность всех взаимосвязанных существенных свойств объекта называют содержанием понятия об этом объекте.
Объем понятия- это совокупность всех объектов, обозночаемых одним и тем же термином.
Между объемом понятия и его содержание существует связь: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот. Так, н-р, объем понятия «прямоугольный треугольник» меньше объема понятия «треугольник», поскольку в объеме первого понятия входят не все реугольники, а только прямоугольные. Но содержание первого понятия больше содержания второго: прямоугольный треугольник обладает не только всеми свойтсвами треуольника, но и другими, присущими только прямоугольным треугольникам.
В содержание понятия о каком-либо математическом объекте входит много различных существенных свойств этого объекта. Однако чтобы установить, содержится ли объект в объеме данного понятия, необходимо провериь наличие у него лишь екоторых существенных свойств. Указание этих существенных свойств объекта, которые достаточны для распознания объекта, называются определением понятия об этом объекте.
Определение- это логическая операция, раскрывающая содержание понятия:
· Явные- имеют форму равенства, совпадение двух понятий;
· Неявные- не имеют формы совпаденияя двух понятий:
а) контекстуальные- содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через анализ конкретной ситуации, описыающий смысл вводимого понятия;
б) остенсивные- используются для введения теринов путм демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают.
В явных определениях отождествляют 2 понятия: определяемым понятием и определяющим.
Определяемое понятие= родовое поняти+ видовое отличие
Определяющее понятие
Определение понятия по такой схеме называют определением через род и видовое отличие.
1.2.2. ПОНЯТИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ. СМЫСЛ СЛОВ "И", "ИЛИ", "НЕ", В СОСТАВНЫХ ВЫСКАЗЫВАНИЯХ.
Среди суждений, устанавливающих различные отношения между математическими понятиями, выделяют высказывания и высказывательные формы.
Высказыванием называется предложение, относительно которго имеет смысл вопрос, истинно или ложно.
Считают, что высказывание вида «А и В» истинно, если истинны оба высказывания А иВ. Если же хотя бы одно из них ложно, то высказывание «А и В» ложно.
Считают, что высказывание вида «А или В»истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний А и В. Высказывание «А или В» ложно, когда оба высказывания ложны.
Отрицанием высазывания А называется высказывание А, которое истинно, если высказывание А ложно, и ложно, когда А истинно.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 1540; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!