Лекция 12. Дифференцирование функций
Основные вопросы:
- Производная сложной, неявной и обратной функции.
2. Логарифмическое дифференцирование.
3. Производные высших порядков.
Обзор лекции:
В данной лекции рассматриваются правилами дифференцирования сложной, неявной и обратной функций, метод логарифмического дифференцирования, производные высших порядков.
1. Производная сложной, неявной и обратной функции.
Если функция u = φ(x) имеет при некотором значении х производную ux΄=φ΄(x), а функция y = f(u) имеет при соответствующем значении u производную yu΄= f΄(u), то сложная функция y = f(φ(x)) тоже имеет при данном значении х производную, равную
y΄(x) = f΄(u)·u΄(x).
Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.
Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х: 
т.к. g¢(y) ¹ 0 
т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.
Неявная функция — это функция у от аргумента x, заданная уравнением F(x;y)=0, не разрешенным относительно y.
Чтобы найти производную неявно заданной функции:
1. Находим производную по x от левой части уравнения F(x;y)=0, с учетом того, что у — функция от x;
2. Полученное выражение приравниваем к нулю и решаем как уравнение относительно y’, то есть выражаем y’ через y и x.
|
|
|
2. Логарифмическое дифференцирование.
Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле 
Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных и показательно-степенных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.
Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.
Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.
Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим:
lny = vlnu
3. Производные высших порядков.
Производная f'(x) функции f(x) сама является функцией аргумента х, и по отношению к ней также можно ставить вопрос о производной. Производная от первой производной некоторой функции у = f(x) называется второй производной, или производной второго порядка этой функции. Производная от второй производной называется третьей производной, или производной третьего порядка. Этот процесс можно продолжить. Производные начиная со второй называются производными высших порядков. Для их обозначения используют символы: у", у'", у(4), у(5), ..., у(n) или вместо у пишут f(x): f"(x), f"(х), ..., f(n)(x).
|
|
|
Производная n-го порядка определяется, таким образом, как производная от производной (n — 1)-го порядка:
y(n) = (y(n-1))'
Контрольные вопросы:
- Как найти производную сложной функции?
- Как найти производную обратной функции?
- Как найти производную неявной функции?
- В чем заключается метод логарифмического дифференцирования?
- Что называется производной n-го порядка?
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 284; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!