Тема 4. Применения производной функции
Лекция 14. Основные теоремы о дифференцировании функции
Основные вопросы:
1. Теорема Ролля, теорема Лагранжа.
2. Теорема Ферма, теорема Коши.
3. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.
Обзор лекции:
В данной лекции рассматриваются основные теоремы о дифференцировании функции: теорема Ролля, теорема Лагранжа, теорема Ферма, теорема Коши; правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.
1. Теоремы Ролля, Лагранжа
Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка e, a < e < b, в которой производная функция f(x) равная нулю, f¢(e) = 0.
Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.
Теорема Ролля имеет несколько следствий:
1) Если функция f(x) на отрезке [a, b] удовлетворяет теореме Ролля, причем f(a) = f(b) = = 0, то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что f¢(e) = 0. Т.е. между двумя нулями функции найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
2) Если на рассматриваемом интервале (а, b) функция f(x) имеет производную (n-1)- го порядка и n раз обращается в нуль, то существует по крайней мере одна точка интервала, в котором производная (n – 1) – го порядка равна нулю.
|
|
|
Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка e (a < e < b), такая, что 
.
Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.
Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа. Отношение 
равно угловому коэффициенту секущей АВ.
Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно.
Определение. Выражение 
называется формулой
Лагранжа или формулой конечных приращений.
В дальнейшем эта формула будет очень часто применяться для доказательства самых разных теорем.
Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде:
|
|
|
,
где 0 < q < 1, Dx = b – a, Dy = f(b) – f(a).
2. Теорема Ферма, теорема Коши.
Теорема Ферма (о равенстве нулю производной)
Пусть функция y = f(x):
1)дифференцируема на интервале (a;b) ,
2)достигает экстремума в точке x0 (a;b) .
Тогда производная в этой точке f ′(x0 ) = 0.
Геометрический смысл теоремы Ферма очевиден: в точке наибольшего или наименьшего значения касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.
Теорема Коши. Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g¢(x) ¹ 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что
.
Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке e.
Следует отметить, что рассмотренная выше теорема Лагранжа является частным случаем (при g(x) = x) теоремы Коши. Доказанная нами теорема Коши очень широко используется для раскрытия так называемых неопределенностей. Применение полученных результатов позволяет существенно упростить процесс вычисления пределов функций, что будет подробно рассмотрено ниже.
3. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
Если функции f(x) и g(x) удовлетворяют на некотором отрезке [ab] условиям теоремы Коши и f(a) = g(a) = 0, то отношение f(x)/g(x) не определено при х=а, но определено при остальных значениях х. Поэтому можно поставить задачу вычисления предела этого отношения при x→a. Вычисление таких пределов называют обычно «раскрытием неопределенностей вида {0/0}».
|
|
|
Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) удовлетворяют на отрезке [a,b] условиям теоремы Коши и f(a)=g(a)=0. Тогда, если существует 
, то существует и 
, причем 
.
Пример. 
при a>0.
Контрольные вопросы:
- Перечислите теоремы о дифференцировании функции.
- Сформулируйте теорему Ролля. Геометрический смысл теоремы.
- Сформулируйте теорему Лагранжа. Геометрический смысл теоремы.
- Сформулируйте теорему Ферма. Геометрический смысл теоремы.
- Сформулируйте теорему Коши.
- Сформулируйте правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 137; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!