Лекция 13. Дифференциал функции

Основные вопросы:

1. Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала.

2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

3. Дифференциалы высших порядков.

 

Обзор лекции:

В данной лекции рассматриваются понятие дифференциала функции, его геометрический смысл; применение дифференциала в приближенных вычислениях, дифференциалы высших порядков    

 

1. Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала.

 

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

 

       Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

       Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что  dy = f¢(x)Dx или dy = f¢(x)dx.

Можно также записать:

Геометрический смысл дифференциала.

           y

                                                                     f(x)       

 

                                                   K        dy      Dy

                                M                                    

                                                        L

                                                            

 

                               a

                                                                              

                                         x    x + Dx      x

       Из треугольника DMKL: KL = dy = tga×Dx = y¢×Dx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

Свойства дифференциала.

       Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

 

1) d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv

 

2) d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv

 

3) d(Cu) = Cdu

 

4)  

Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала.

       Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.

Тогда dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.

       Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

       Однако, если х- независимая переменная, то dx = Dx, но если х зависит от t, то Dх ¹ dx.

Таким образом, форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.

 

2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

 

Так как истинное значение приращения функции отличается от ее дифференциала на бесконечно малую более высокого порядка, чем Δх, при приближенных вычислениях можно заменять Δу на dy, то есть считать, что

 f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + dy = f(x₀) + f`(x₀)(x -x₀).

При этом функция f(x) для значений х, близких к х₀, приближенно заменяется линейной функцией. Эта операция называется линеаризацией функции.

В этом случае абсолютная погрешность приближенных вычислений будет равна | Δу |= , относительная погрешность - e= .

Пример. Найдем приближенное значение . Пусть  Тогда

   

3. Дифференциалы высших порядков

 

Пусть у = f (х) дифференцируемая функция, а еe аргумент х- независимая переменная. Тогда еe первый дифференциал dy = f′(x)dx есть также функция от х; можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции у=f(х) называется ее вторым дифференциалом (илидифференциалом второго порядка) и обозначается d²y или d²f (x): d²y = f′′(x) dx²

Здесь dx² обозначает (dx)².

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка: d³y = d(d²y) = d (f′′ (x) dx²) = f′′′ (x) dx³.

Вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала(n-1)-го порядка: dⁿy = d (d ^{n – 1} y) =f (n) (x) (dx)ⁿ.

Отсюда находим, что f⁽ⁿ⁾(x)= dⁿy/dxⁿ.

В частности, при n = 1, 2, 3 соответственно получаем:

f ′(x)=dy/ dx, f ′′(x)=d²y/dx², f′′′(x)=d³y/ dx³, т.е. производную функции можно рассматривать как отношение её дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Отметим, что все приведённые выше формулы справедливы только, если х – независимая переменная.

 

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте определение дифференциала функции.
2. В чем заключается геометрический смысл дифференциала?
3. Свойства дифференциала.
4. В чем заключается инвариантность дифференциала?
5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
6. Что называется дифференциалом n-го порядка?

 

 

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 351; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!