Лекция 2. Основы теории множеств

Автономная некоммерческая организация

«Образовательная организация высшего

Образования»

«Университет экономики и управления»

Кафедра Бизнес-информатика

 

Г.В. Шнарева

 

 

Математический анализ

 

Опорный конспект лекций

 

 Симферополь 2017

УДК

ББК 

 

Кафедра Бизнес-информатики

Автор: Шнарева Галина Вячеславовна – старший преподаватель кафедры Бизнес-информатики.

 

    

Рецензент: доцент кафедры бизнес-информатики, к.э.н.

              Абрамова Марина Владимировна

 

Опорный конспект лекций по дисциплине «Математический анализ» (1 семестр) предназначен для студентов очной и заочной форм обучения направления подготовки 38.03.01 Экономика, 38.03.05 Бизнес-информатика (квалификация – бакалавр); и служит помочь при изучении теоретического материала, подготовке к итоговому контролю по данной дисциплине.

 

Содержание

Введение. 4

Тема 1. Введение в анализ. 5

Лекция 1. Введение. 5

Лекция 2. Основы теории множеств. 8

Лекция 3-4. Числовые последовательности. 13

Тема 2. Функция. Предел функции 18

Лекция5. Функция. 18

Лекция 6. Пределы функций. 22

Лекция 7. Раскрытие неопределенностей. 26

Лекция 8-9. Непрерывность функций. 29

Лекция 10-11. Производная функции. 37

Лекция 12. Дифференцирование функций. 42

Лекция 13. Дифференциал функции. 44

Тема 4. Применения производной функции 49

Лекция 14. Основные теоремы о дифференцировании функции. 49

Лекция 15-16. Приложение производной. 52

Тема 5. Функции нескольких переменных 58

Лекция 17. Функции нескольких переменных. 58

Лекция 18. Экстремум функции двух переменных. 63

Тесты.. 67

Заключение. 76

Список рекомендованной литературы 77

Введение

Дисциплина «Математический анализ» является базовой дисциплиной основной образовательной программы. Дисциплина основывается на знании следующих дисциплин: «Алгебра и начала анализа», «Геометрия» курса общеобразовательной школы. Изучение дисциплины необходимо для дальнейшего изучения таких дисциплин, как: «Линейная алгебра», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Рискология», «Основы финансовых вычислений», для всех последующих математических и финансово-экономических дисциплин подготовки бакалавра экономики.

В результате освоения дисциплины студент должен:

знать:

- основные понятия и методы математического анализа, необходимые для решения экономических задач

- основные понятия и категории математического анализа, используемые при расчете экономических     и     социально- экономических показателей;

уметь:

- использовать понятийный аппарат математического анализа как инструмент научного познания и анализа для исследования математических моделей в экономике;

- применять математические методы при решении профессиональных задач;

- анализировать результаты расчетов, обосновывать полученные выводы;

владеть:

- понятийно-категориальным аппаратом математического анализа;

- навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач;

- методикой построения, анализа и применения математических моделей в профессиональных задачах и содержательной интерпретации полученных результатов.

 

Тема 1. Введение в анализ

                   

Лекция 1. Введение

Основные вопросы:

1. Цели и задачи дисциплины «Математический анализ».

2. История математического анализа

3. Входной контроль по дисциплине «Математический анализ»

 

Обзор лекции:

В данной лекции рассматриваются цели и задачи дисциплины «Математический анализ», краткая история развития  математического анализа; проверяется исходный уровень знаний, необходимый для освоения дисциплины «Математический анализ».

 

1. Цели и задачи дисциплины «Математический анализ»

 

Для исследования различных явлений с помощью математических моделей необходимо владеть определенными методами, которые изучаются математическими дисциплинами.

Целью учебной дисциплины является получение базовых знаний и формирование основных навыков по математическому анализу, необходимых для решения задач, возникающих в практической экономической деятельности.

Достижение указанной цели возможно при решении следующих задач:

· овладение базовыми разделами математики, необходимыми для анализа и моделирования экономических задач;

· определение и упорядочение необходимого объема информации при постановке, реализации и обработке итоговых результатов математической модели экономической задачи;

· овладение прикладными расчетными приемами по реализации вычислительных аспектов математических задач;

· освоение навыков использования справочной и специальной литературы.

Разделы дисциплины:

- Теория пределов

- Дифференциальное исчисление

- Интегральное исчисление

- Дифференциальные уравнения

- Теория рядов

 

2. История математического анализа

 

Математический анализ является одной из наиболее значительных частей математики. Характерной чертой этого раздела можно назвать его тесную связь с практикой.

Математический анализ — часть математики, в которой функции и их обобщения изучают методами дифференциального и интегрального исчисления. Эти методы тесно связаны с понятием предела, а предел, в свою очередь, — с понятием бесконечно малой величины. Поэтому можно так- же сказать, что математический анализ изучает функции и их обобщения методом бесконечно малых. Название «математический анализ» — это сокращённое видоизменение более раннего названия этой части математики — «анализ бесконечно малых»; последнее полнее раскрывает содержание, но тоже является сокращённым (название «анализ посредством бесконечно малых» охарактеризовало бы предмет более точно). Основным понятием математического анализа является функция, а методом – предельный переход.

Зародился этот метод в глубокой древности в связи с вычислением площадей криволинейных фигур и объемов тел, ограниченных кривыми поверхностями, но был весьма несовершенен.

Научную разработку метод пределов получил в трудах английского математика, физика, механика Исаака Ньютона (1642-1727) и немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница. (1646-1716). Сформулированные ими результаты заложили основы классического математического анализа. До ХVII в. математический анализ представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач. Каждая задача или частная группа задач решалась своим методом, подчас сложным и громоздким. Математический анализ как единое и систематическое целое сложился в трудах И. Ньютона, Г. Лейбница, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и других учёных ХVII–ХVIII вв.

В конце XVII в. двум учёным — И. Ньютону и Г. Лейбницу — независимо друг от друга удалось создать для решения названных задач математический аппарат, подытоживший и обобщивший отдельные результаты предшественников, среди которых и учёный древности Архимед, и современники Ньютона и Лейбница — Б. Кавальери, Б. Паскаль, Д. Грегори, И. Барроу. Этот аппарат составил основу математического анализа — нового раздела математики, изучающего различные развивающиеся процессы, то есть взаимосвязи переменных величин, которые в математике называют функциональными зависимостями, или, иначе, функциями.

В конце XVII века вокруг Лейбница возник кружок, виднейшими представителями которого были братья Бернулли, Якоб и Иоганн, и Лопиталь. В 1696, используя лекции И. Бернулли, Лопиталь написал первый учебник, излагавший новый метод в применении к теории плоских кривых. Он назвал его «Анализ бесконечно малых», дав тем самым и одно из названий новому разделу математики. В основу изложения положено понятие переменных величин, между которыми имеется некоторая связь. Понятие функции отсутствует: желая сказать, что зависимость переменных задана, Лопиталь говорит, что «известна природа кривой». Основа математического анализа — теория пределов — была разработана О. Коши в начале ХIХ века.

Таким образом, основные идеи математического анализа были разработаны в 17-18 вв. А сформирован он был в научном и методическом плане только к концу 19 века. Работы выдающихся математиков следующих поколений позволили на основе понятия бесконечно малой переменной величины разработать теорию пределов и обосновать дифференциальное и интегральное исчисление, а затем теорию дифференциальных уравнений и рядов.

Для сокращения записи утверждений и определений, а также превращение их записи в максимально ясный и однозначно понимаемый текст примерно с середины XX-го века в математическую литературу и учебники вошли новые символы – «кванторы». Изначально эти символы появились в математической логике и носили только узкоспециальный смысл. Затем математики заметили их удобство и перевели их в ранг общеупотребимых.

В курсе математического анализа различные определения, утверждения и теоремы зачастую формулируются посредством общепринятых логических обозначений – символов (элементов, кванторов) языка раздела математики, именуемого математической логикой.

Мы будем использовать кванторы для сокращения записи и повышения наглядности некоторых математических формулировок.

Кванторов всего два:

- " квантор всеобщности.

Читается "для каждого", или "для любого", или "любой" в зависимости от контекста. Обозначение - перевернутая буква А - первая буква английского All – все или Any– любой, всякий.

- $ квантор существования.

Читается "существует", "найдется". Обозначение - перевернутая буква Е - первая буква английского Exists - существует.

 

Лекция 2. Основы теории множеств

Основные вопросы:

1. Основные понятия теории множеств.

2. Операции над множествами.

3. Числовые множества.

 

Обзор лекции:

В данной лекции рассматриваются основные понятия теории множеств, основные операции над множествами, числовые множества.

 

1. Основные понятия теории множеств.

 

Множество — одно из основных понятий современной математики. Это понятие не сводится к другим понятиям и не определяется.

Когда в математике говорят о множестве, то понимают под этим совокупность предметов (объектов), объединенных в одно целое по некоторому признаку. Один из основоположников современной теории множеств немецкий математик Георг Кантор
(1845–1918 гг.) выразил эту мысль следующим образом: «Множество есть многое, мыслимое как единое целое».

Предметы (объекты), составляющие множество, называют его элементами. Множества обозначают заглавными латинскими буквами: A, B, C, X, … их элементы — прописными буквами: a, b, c, x, … или буквами с индексами a1, a2, ...

Предложение «объект a является элементом множества A» записывается а ∈ А (читается: а принадлежит A), если же a не является элементом множества A, то это записывают так а ∉ А. Например, A — множество четных чисел. Тогда 2 ∈ А, 1028 ∈ А,5 ∉ А.

В математике можно рассматривать множества, содержащие 3, 2, 1 элемент, а также множество, не содержащее ни одного элемента. Такое множество называют пустым и обозначают ∅ . Примерами пустых множеств являются множество нечетных чисел, делящихся на 2; множество сооружений на земле высотой более 1000 м и т.д. Если множество содержит конечное число элементов, то его называют конечным, а если в нем бесконечно много элементов, то бесконечным.

Если множество задано списком, то его элементы записывают в фигурных скобках через точку с запятой. Множество цифр можно записать следующим образом A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0}.

Однако задать множество списком можно только тогда, когда оно содержит конечное число элементов (но и это неудобно, если число элементов множества велико). Существует универсальный способ задания множеств (в том смысле, что таким способом можно задать любое множество). Множество может быть задано с помощью характеристического свойства, то есть такого свойства, которым обладают все элементы множества, и не обладают объекты, не принадлежащие множеству (записывают: А = {х | P(х)}, где P(x) — характеристическое свойство).

Приведем несколько примеров:

1. Пусть A — множество остатков от деления натуральных
чисел на 5, тогда A = {0; 1; 2; 3; 4}.

2. Если B = {n | n ∈ N, 3 ≤ n ≤ 12} — множество натуральных
чисел, заключенных между 3 и 12, то B = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}.

3. Если D = {х | х ∈ R, –3 ≤ х ≤ 4}, то D — отрезок [–3; 4].

4. Если X = {х | х² – 3х + 2 = 0} — множество корней квадратного уравнения, то X = {1; 2}.

Рассмотрим два множества A и B. Если каждый элемент множества A является элементом множества B, то говорят, что A — подмножество множества B. Этот факт записывают А ⊂ В. Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества. Каждое непустое множество А имеет хотя бы два подмножества — само множество А и пустое множество. Их называют несобственными подмножествами множества А, все другие подмножества, если они существуют, — собственными.

Если множество В является подмножеством множества А (В ⊂ А), то принадлежность элемента x множеству В является достаточным условием его принадлежности множеству А, а принадлежность элемента x множеству А — необходимым условием его принадлежности множеству В.

Если одновременно А ⊂ В и В ⊂ А, то говорят, что множества А и В равны, т.е. состоят из одних и тех же элементов. В этом случае принадлежность элемента множеству А необходима и достаточна для его принадлежности множеству В.

2. Операции над множествами.

 

1) Пересечение множеств

Пусть даны два множества А и В.

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В. Обозначают пересечение множеств A ∩ B. A ∩ B = {х | х ∈ A и х ∈ B}. Аналогично определяется пересечение любого числа множеств. Графически удобно пересечение множеств изображать в виде общей части двух или более кругов Эйлера–Венна (рис. 2).

2) Объединение множеств

Объединением двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Обозначают объединение множеств A ∪ B.

A ∪ B = {х | х ∈ A или х ∈ B}.

Аналогично определяется объединение любого числа множеств.

3) Разность множеств

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, множества А, не принадлежащих множеству В.

Обозначают разность множеств A \ B (рис. 4). A \ B = {х | х ∈ A и х Ï B}.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих только одному множеству А или В, обозначают A D B (рис. 5).

4) Дополнением множества до универсального

Часто при решении задач вводят универсальное множество U — это самое большое множество элементов, рассматриваемых в задаче. Дополнением множества A до универсального называется множество элементов универсального множества, не принадлежащих множеству A. Обозначают дополнение множества A (рис. 6).

A = U \ A= {х | х ∈ U, х Ï A}

 

 

3. Числовые множества.

 

Элементами множества могут быть объекты различной природы (числа, слова, геометрические фигуры, функции, животные и т.д.). Для математики особую роль играют множества, составленные из математических объектов. Очень часто встречаются числовые множества, т.е. множества, элементами которых являются числа.

Например:
N — множество натуральных чисел,

Z — множество целых чисел,

Q — множество рациональных чисел,

R — множество действительных чисел.

NÌZÌQÌR

Особое место занимают множества, называемые числовыми промежутками: отрезок [a; b], интервалы (a; b), (a; +∞), (–∞; b), полуинтервалы [a; b), (a; b], [a; +∞), (–∞; b].

Числовые множества используются при решении уравнений.

Контрольные вопросы:

1. Что такое множество? Что такое элемент множества?

2. Способы задания множества

3. Что такое подмножество?

4. Какие множества называются равными?

5. Что такое пересечение множеств?

6. Что называется объединением множеств?

7. Что называется разностью множеств?

8. Что называется дополнением?

9. Перечислите числовые множества.

 

Лекция 3-4. Числовые последовательности.

Основные вопросы:

1. Определение числовой последовательности.

2. Ограниченные и неограниченные числовые последовательности

3. Монотонные числовые последовательности.

4. Сходящиеся и расходящиеся числовые последовательности.

 

Обзор лекции:

В данной лекции рассматриваются понятие числовой последовательности, способы ее задания, определения монотонных, ограниченных, сходящихся и расходящихся числовых последовательностей.

 

1. Определение числовой последовательности.

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность

x_1, х₂, …, х_n = {x_n}

 

Общий элемент последовательности является функцией от n: x_n = f(n).

Таким образом, последовательность может рассматриваться как функция.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

       Пример. {x_n} = {(-1)ⁿ} или {x_n} = -1; 1; -1; 1; …

                 {x_n} = {sinpn/2} или {x_n} = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:

1) Умножение последовательности на число m: m{x_n} = {mx_n}, т.е. mx₁, mx₂, …

2) Сложение (вычитание) последовательностей: {x_n} ± {y_n} = {x_n ± y_n}.

3) Произведение последовательностей: {x_n}×{y_n} = {x_n×y_n}.

4) Частное последовательностей:  при {y_n} ¹ 0.

 

2. Ограниченные и неограниченные числовые последовательности

 

       Определение. Последовательность {x_n} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

       Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что x_n £ M.

       Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что x_n ³ M

       В следующих примерах последовательности: 4), 5) – ограничены снизу, но не ограничены сверху; 6) – неограниченная; 1), 2), 3) – ограничены.

1) ;   

2) ;

3) ;            

4) ;

5) ;                                

6) .

        

3. Монотонные числовые последовательности.

 

  Определение. 1) Если x_n+1 > x_n для всех n, то последовательность возрастающая.

2)Если x_n+1 ³ x_n для всех n, то последовательность неубывающая.

3)Если x_n+1 < x_n для всех n, то последовательность убывающая.

4)Если x_n+1 £ x_n для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Пример. {x_n} = 1/n – убывающая и ограниченная,  {x_n} = n – возрастающая и неограниченная.

 

1. Сходящиеся и расходящиеся числовые последовательности.

 

Определение. Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

 

. Это записывается: .

В этом случае говорят, что последовательность {x_n}сходится к а при n®¥.

Дадим определение предела последовательности, используя понятие окрестности.

Из условия   имеем

, для всех n > N.      

Отсюда, число  является пределом последовательности , если для любого  найдется номер , начиная с которого все члены последовательности принадлежат -окрестности точки .

Таким образом, последовательность  сходится к числу , если вне любой -окрестности точки  имеется конечное число членов последовательности.

Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

           

       Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

       Теорема. Если x_n ® a, то .

       Теорема. Если x_n ® a, то последовательность {x_n} ограничена.

 

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

       Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

       Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

       Контрольные вопросы:

1. Дайте определение числовой последовательности.
2. Перечислите способы задания последовательностей.
3. Какие последовательности называют возрастающими?
4. Какие последовательности называют убывающими?
5. Какие последовательности называют ограниченными?
6. Какие последовательности называют сходящимися?
7. Какие последовательности называют расходящимися?
8. Сформулируйте определение предела числовой последовательности.

 

 

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 306; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!