Взаимное пересечение поверхностей. Построение линии пересечения поверхностей методом вспомогательных секущих сфер. Построение разверток
Содержание лекции
Пересечение двух соосных поверхностей вращения. Построение линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются. Область применения метода вспомогательных секущих сфер. Построение разверток поверхностей цилиндра и конуса.
Построение двух соосных поверхностей вращения
Соосными называются поверхности, имеющие общую ось вращения. Две соосные поверхности вращения пересекаются между собой по окружности, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности. Если общая ось поверхностей параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость проекций окружность будет проецироваться прямой линией (рис. 14.1,а). Если одной из этих поверхностей будет сфера и её центр будет принадлежать оси другой поверхности, то сфера пересечется с этой поверхностью то же по окружностям, проекции которых, при наличии вышеупомянутых условий, будут представлять собой, как и в первом случае, прямые линии.
 |  |
а б
Рис. 14.1
14.2
Используя это свойство, можно в некоторых задачах на построение линии пересечения поверхностей вместо вспомогательных секущих плоскостей использовать вспомогательные секущие сферы.
Построение линии пересечения двух поверхностей вращения
Рассмотрим применение метода вспомогательных секущих сфер на следующих задачах.
|
|
|
Задача 1
Построить линию пересечения двух поверхностей вращения (рис.14.2).
Для того, чтобы секущая сфера пересекла каждую поверхность по окружности необходимо, чтобы центр сферы лежал на оси каждой поверхности. Это условие будет выполнено в том случае, если центр сферы будет совпадать с точкой пересечения осей.
Сферой минимального радиуса окажется сфера λ, касательная к поверхности вращения, имеющей вертикальную ось. Эта сфера коснется поверхности по окружности (1,2), а вторую поверхность - конус, пересечет по окружности (3,4). Если провести сферу меньшего диаметра, то она, пересекаясь с конусом, уже не будет пересекаться с поверхностью вращения и, следовательно, с ее помощью мы не получим решения.
Пересечение окружностей (1,2) и (3,4) даст нам точку С, принадлежащую искомой линии пересечения наших поверхностей.
Рис. 14.2
14.3
Построите вторую сферу λ 2, мы, с ее помощью, получим уже две интересующие нас точки - D и Е.
Следует отметить, что данная задача, очень просто решаемая методом секущих сфер, трудно выполнима при ее решении методом секущих плоскостей. Трудность решения последним способом состоит в том, что в данной задаче не существует такого положения секущих плоскостей, при котором обе поверхности одновременно пересекались бы по простейшим кривым. Так, например, семейство горизонтальных секущих плоскостей, рассекая поверхность вращения по простейшим линиям - окружностям, будут пересекать конус по сложным кривым - гиперболам. Последнее обстоятельство создаст большие затруднения при решении задачи.
|
|
|
Задача 2
Построить линию пересечения кругового конуса со сферой. (рис.14.3).
Рис. 14.3
Эта задача была решена на прошлой лекции методом вспомогательных секущих плоскостей. Для сравнения рассмотрим ее решение методом вспомогательных секущих сфер. Эта задача имеет одну особенность, которой не было в предыдущей задаче. Дело в том, что сфера имеет бесчисленное множество осей, вследствие чего за центр секущих сфер можно принять любую точку, принадлежащую оси конуса, т.к. через эту произвольную точку всегда можно провести новую ось сферы. В качестве такой произвольной точки может быть выбрана и вершина конуса S.
14.4
Решение задачи ясно из чертежа. Это решение следует подробно пояснить слушателям.
После решения приведенных задач следует обратить внимание студентов, что при их решении мы использовали только одну плоскость проекций и именно ту, по отношению к которой оси поверхностей параллельны. Это обстоятельство является одной из особенностей метода вспомогательных секущих сфер.
|
|
|
При применении метода вспомогательных секущих плоскостей решение задач с использованием только одного поля проекций совершенно невозможно.
Если у нас возникнет необходимость построить вторую проекцию линии пересечения, это можно будет легко сделать обычным путем, т.е. исходя из условия принадлежности линии пересечения одной из данных нам поверхностей.
Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 545; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!