Пересечение прямой с поверхностью

Содержание лекции

Пересечение прямой с цилиндрической и конической поверхностями. Пересечение прямой со сферой. Частные случаи пересечения прямой с поверхностью вращения.

Пересечение прямой с цилиндрической поверхностью

При решении задачи на отыскание точек пересечения прямой с поверхностью применение в качестве посредников проецирующих плоскостей хотя и может привести к цели, но нередко дает крайне сложные в графическом отношении и неточные решения.

В некоторых задачах решение может быть значительно упрощено, если в качестве вспомогательной секущей плоскости брать не проецирующую, а соответствующим образом выбранную плоскость общего положения. Этот прием применяется при решении рассматриваемых задач на пересечение прямой с цилиндрической и конической поверхностями.

Пусть требуется найти точки встречи прямой l с поверхностью эллиптического цилиндра (рис.12.1). Какую бы проецирующую плоскость мы не провели через прямую l, одна из проекций сечения будет эллипсом. Можно, конечно, построить этот эллипс и найти его пересечение с данной прямой, но такое решение нецелесообразно.

В подобных случаях выбор вспомогательной секущей плоскости, проводимой через данную прямую, производится с таким расчетом, чтобы получить в сечении простые и удобные для построения линии, например прямые или окружности.

На рис. 12.1 а и б через прямую l проведена плоскость, параллельная образующим цилиндра. Ясно, что такая плоскость должна рассечь поверхность цилиндра по прямым линиям (по образующим), построение которых не представляет труда. Чтобы провести эту плоскость на эпюре, возьмем на прямой l две произвольные точки А и В и проведем через них прямые m и n, параллельные образующим цилиндра. Две параллельные прямые m и n определяют требуемую плоскость. Найдем теперь линию

12.2

пересечения этой плоскости с плоскостью основания цилиндра, т.е. с плоскостью Н.

а б

Рис. 12.1

Прямая m пересечет плоскость Н в точке m_H, а прямая n, в точке n_H. Соединяя точки m_H и n_H , получаем линию пересечения нашей плоскости с плоскостью Н, т.е. ее горизонтальный след. Эта прямая пересекает основание цилиндра, находящееся также в плоскости Н, в точках 1 и 2. Через эти точки и пройдут горизонтальные проекции образующих, по которым плоскость λ рассекает поверхность цилиндра. В пересечении их с l получены точки К₁" и K ₂", по которым построены затем фронтальные проекции К₁" и К₂".

Если горизонтальный след l _Н данной прямой l находится в пределах чертежа, то вместо двух вспомогательных прямых m и n достаточно провести одну из них. Тогда секущая плоскость будет определяться двумя пересекающимися прямыми - l и m или l и n, а след плоскости пройдет через следы этих прямых, т.е. через l _Н и m_H (или n_H).

12.3

Пересечение прямой с конусом

Если вместо цилиндра взять конус, то вспомогательную секущую плоскость придется выбрать уже по другим соображениям (см. рис.12.2). Действительно, плоскость может рассекать коническую поверхность по прямsм линиям (по образующим) только в том случае, если она проходит через вершину конуса. Поэтому вспомогательную секущую плоскость a через прямую l следует провести так, чтобы она проходила еще и через вершину конуса. Для этого вершину конуса соединяем прямой S А с какой либо точкой А, взятой на прямой l (или с двумя точками этой прямой). Две пересекающиеся прямые (S А и l ) и определяют требуемую вспомогательную плоскость λ. Далее строится линия пересечения этой плоскости с плоскостью основания конуса, являющейся в нашей задаче фронтально - проецирующей плоскостью a.

Рис. 12.2

Прямая l пересекает плоскость a в точке В, а прямая S А в точке С. Прямая ВС будет прямой, по которой секущая плоскость λ пересекает плоскость основания конуса a  , Следовательно, вспомогательная секущая плоскость λ пересекает основание конуса в точках 1 и 2, которые дают

12.4

возможность провести образующие S 1 и S 2, т.е. прямые по которым плоскость λ рассекает поверхность конуса. В пересечении их с l находим искомые точки пересечения l с поверхностью конуса - К₁ и К₂.

Пересечение прямой со сферой

Настоящая задача является примером использования методов преобразования чертежа при решении задач на пересечение прямой с поверхностью. В данной задаче в качестве вспомогательной можно взять любую проецирующую плоскость, так как в сечении сферы любой плоскостью всегда получается окружность. В нашем примере (рис.12.3) взята горизонтально-проецирующая плоскость λ. Окружность, что получится в сечении сферы этой плоскостью, спроецируется на плоскость V в виде эллипса.

Рис. 12.3

Чтобы избежать сложности построения этой кривой, целесообразно сделать замену фронтальной плоскости проекций V на V₁. На плоскость V₁ окружность сечения спроецируется в натуральную величину. В системе V₁/H определяем проекции точек пересечения - К₁₁ и К₂₁, зная которые

12.5

находим проекции этих точек в заданной системе плоскостей проекций К₁' и К₂', а затем К₁" и К₂".

Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 305; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 15 16 17 18 192021 22 23 24 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!