Сечение поверхности проецирующей плоскостью
Содержание лекции
Сечение поверхности проецирующей плоскостью. Конические сечения. Алгоритм определения точек пересечения прямой с поверхностью.
Сечение поверхности проецирующей плоскостью
Изучая задачу пересечения поверхности с плоскостью, рассмотрим сначала наиболее простой и наиболее распространенный на практике случай - сечение поверхности проецирующей плоскостью. Широко применяемые в техническом черчении условные разрезы различных машин или строительных сооружений представляют собой с геометрической точки зрения не что иное, как сечения изображаемых предметов плоскостями, параллельными плоскости V, Н или W.
Построение проекций плоской фигуры, получающейся в сечении, производится в данном случае особенно просто, так как одна из проекций совпадает с соответствующим следом секущей плоскости, т.е. является прямой линией.
11.2
Задача сводится, таким образом, к построению другой проекции фигуры, лежащей в секущей плоскости.
На рис. 11.1 приведен пример построения сечения кругового цилиндра фронтально-проецирующей плоскостью a, которая рассечет наш цилиндр по эллипсу. Фронтальная проекция искомого сечения будет представлять собой прямую линию I" 2", которая совпадет со следом плоскости a v . Вторую проекцию сечения можно построить по отдельным точкам, взятым на поверхности цилиндра и принадлежащим искомому эллипсу. Задачу на отыскание точек, принадлежащих поверхности, в том числе и цилиндру, мы рассмотрели на прошлой лекции.
|
|
|
Построение начинаем с характерных точек 1, 2, 3, 4. Положение произвольных промежуточных точек 5,6,7,8 находим также из условия их принадлежности соответствующим образующим цилиндра. Для нахождения горизонтальных проекций этих образующих строим профильную проекцию цилиндра. Для упрощения решения целесообразно точки 7" и 8" на фронтальной проекции брать на том же расстоянии от оси цилиндра, что и точки 5",6" При этом условии горизонтальные проекции образующих, на которых лежат точки 5,7 и 6,8, совпадут, что и упростит решение.
11.3
На рис. 11.2 приведен пример сечения поверхности вращения горизонтально-проецирующей плоскостью a. В этом случае уже горизонтальная проекция сечения будет представлять собой прямую линию, совпадающей с горизонтальным следом плоскости a H. Зная, что эта линия принадлежит поверхности, можно легко построить ее фронтальную проекцию. Построение начинаем с точек 1 и 2, принадлежащих окружности основания. Построение точек 3, 4 является типичным для построения промежуточных точек. Построение точки 5 иллюстрирует определение верхней точки сечения. Точка 6 - точка сечения, принадлежащая главному меридиану, в которой на фронтальной проекции кривая фигуры сечения из видимой переходит в невидимую.
|
|
|
Отметить, что переход видимой ветви кривой сечения в невидимую, всегда происходит в точке, лежащей на очерке поверхности.
Конические сечения
Круговой цилиндр можно рассечь по эллипсу и по прямым линиям. Эллипс получится в том случае, если секущая плоскость будет наклонной по отношению к оси цилиндра. Если же секущая плоскость будет параллельна оси цилиндра она рассечет последний по прямым линиям - его образующим.
 |  |  |
а б в
Рис. 11.3
11.4
Более разнообразны сечения кругового конуса. Прежде всего надо отметить тот единственный случай, когда конус пересекается плоскостью по двум прямым линиям - по образующим. Это может иметь место лишь при условии, если секущая плоскость проходит через вершину конуса.
Если же секущая плоскость не проходит через вершину конуса, то в сечении получаются кривые линии, причем они могут быть только трех видов: эллипсы, параболы и гиперболы. Все эти кривые, как известно, являются кривыми второго порядка.
|
|
|
Эллипс получается в сечении конуса наклонной плоскостью, не параллельной ни одной из его образующих, т.е. пересекающей все образующие конуса (или их продолжения), (рис. 11.3, а).
Парабола получается в том случае, если секущая плоскость параллельна какой-либо одной образующей (рис.11.3, б).
Гипербола получается при условии, если секущая плоскость параллельна двум образующим. В частности, это будет иметь место тогда, когда секущая плоскость параллельна оси конуса (рис.11.3, в).
Ясно, что в обоих последних случаях кривая сечения должна быть разомкнутой, так как плоскость пересекает не все образующие.
Подойдем к рассмотрению конических сечений несколько с иной стороны (рис.11.4).
Рис. 11.4
11.5
Если секущую фронтально-проецирующую плоскость провести через точку А, лежащую на оси конуса, а затем начать придавать ей новые положения, путем вращения около оси, проходящей через А и перпендикулярной плоскости V, то в каждом своём новом положении эта плоскость будет рассекать конус по той или иной кривой.
Из рис. 11.4 видно, что положения секущей плоскости, дающей в сечении параболы, являются граничными, отделяющими зону сечений по эллипсу от зоны сечений по гиперболе.
|
|
|
В том случае когда секущая плоскость пройдет через вершину конуса, сечение по гиперболе распадется на две прямые, а в том случае, когда эта плоскость окажется перпендикулярной оси конуса, в сечении получится окружность.
Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 445; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!