Способы задания движения точки (векторный способ)



При данном способе задания движения положение точки на плоскости или в пространстве определяется вектором-функцией

r = r(t) (1.1)

Рисунок 1.1

Этот вектор откладывается от неподвижной точки, выбранной за начало отсчета, его конец определяет положение движущейся точки.

Годограф r, т.е. положение концов этого вектора в пространстве, определяет траекторию движущейся точки. Ее скорость в этом случае определяется как производная от радиуса-вектора и направлена по касательной к годографу r (по касательной к траектории движения точки, рисунок 1.1):

V = dr/dt (1.2)

а

б
       Рисунок 1.2

Ускорение точки (изменение ее скорости) определяется как производная от скорости:

Вектор ускорения направлен по касательной к годографу вектора скорости (рисунок 1.2, б).

 

Вектор скорости точки.

 

Рисунок 4

Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени. Пусть движущаяся точка находится в момент времени t в положении М, определяемом радиусом-вектором , а в момент t1 приходит в положение Ml, определяемое вектором . Тогда перемещение точки за промежуток времени определяется вектором , который будем называть вектором перемещения точки. Этот вектор направлен по хорде, если точка движется криволинейно (рис. 4, а), и вдоль самой траектории АВ, когда движение является прямолинейным (рис. 4, б).

Из треугольника ОМ M1 видно, что , следовательно, .

Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую средней по модулю и направлению скоростьюточки за промежуток времени Δt:

Направлен вектор так же, как и вектор , т. е. при криволинейном движении вдоль хорды ММ1 в сторону движения точки, а при прямолинейном движении — вдоль самой траектории (от деления на Δt направление вектора не изменяется).

Очевидно, что чем меньше будет промежуток времени Δt, для которого вычислена средняя скорость, тем велича будет точнее характеризовать движение точки. Чтобы получить точную характеристику движения, вводят понятие о скорости точки в данный момент времени.

Скоростью точки в данный момент времени t называется векторная величина , к которой стремится средняя скорость при стремлении промежутка времени Δt к нулю:

Предел отношения при представляет собой первую производную от вектора по аргументу t и обозначается, как и производная от скалярной функции, символом dr̅/dt. Окончательно получаем

Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени .

Так как предельным направлением секущей ММ1 является касательная, то вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Формула (8) показывает также, что вектор скорости v ̅ равен ототношению элементарного перемещения точки dr ̅, направленного по касательной к траектории, к соответствующему промежутку времени dt.

При прямолинейном движении вектор скорости v ̅ все время направлен вдоль прямой, по которой движется точка, и может изменяться лишь численно; при криволинейном движении кроме числового значения все время изменяется и направление вектора скорости точки. Размерность скорости L/T, т. е. длина/время; качестве единиц измерения применяют обычно м/с или км/ч. Вопрос об определении модуля скорости будет рассмотрен в позже.

 

Вектор ускорения точки

Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость тела за единицу времени.

В СИ единицей ускорения является метр на секунду в квадрате .

Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка находится в положении М и имеет скорость v, а в момент t1 приходит в положение M1 и имеет скорость v1 (рис. 8).

Рис.8

Тогда за промежуток времени ∆t=t1-t скорость точки получает приращение . Для построения вектора отложим от точки М вектор, равный v1, и построим параллелограмм, в котором диагональю будет , a одной из сторон . Тогда, очевидно, вторая сторона и будет изображать вектор . Заметим, что вектор всегда направлен в сторону вог­нутости траектории.

Отношение приращения вектора скорости к соответствующему про­межутку времени ∆t определяет век­тор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:

Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и век­тор , т.е. направлен в сторону вогнутости траектории.

Ускорением точки в данный момент времени t называется век­торная величина , к которой стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени ∆t к нулю: Вектор ускорения точки в данный момент време­ни равен первой производной от вектора скорости или второй произ­водной отрадиуса-вектора точки по времени.

Найдем, как располагается вектор по отношению к траекто­рии точки. При прямолинейном движении вектор направлен вдоль прямой, по которойдвижется точка.

При прямолинейном движении с возрастающей по модулю скоростью (рис. 9, а) векторы и сонаправлены ( ) и проекция ускорения на направление движения положительна.

При прямолинейном движении с убывающей по модулю скоростью (рис. 9, б) направления векторов и противоположны ( ) и проекция ускорения на направление движения отрицательна.

Рис.9

Если траекторией точки явля­ется плоская кривая, то вектор ускорения , так же как и вектор , лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор на­правлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, про­ходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, па­раллельную касательной в соседней точке M1 (рис. 8). В пределе, когда точка М стремится к М, эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости, т.е. плоскости, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки. Следовательно, в общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

 


Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 266; Мы поможем в написании вашей работы!






Мы поможем в написании ваших работ!