Аналитические формулы для моментов силы относительно координатной оси.

Зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси. Пусть на тело действует приложен­ная в точке А сила (рис. 33). Проведем какую-нибудь осьz и возьмем на ней произвольную точку О. Момент силы относи­тельно центраО будет изображаться вектором перпендикуляр­ным плоскости ОАВ, причем по мо­дулю .

Проведем теперь через любую точку O₁ на оси z плоскость ху, перпендику­лярную к оси; проектируя силу на эту плоскость, найдем . Но треугольник О₁А₁В₁ представляет собою проекцию треуголь­ника ОАВ на плоскость ху. Угол между плоскостями этих треуголь­ников равен углу между перпендикулярами к плоскостям, т. е. ра­вен . Тогда, по известной геометрической формуле, Умножая обе части этого равенства на 2 и замечая, что удвоен­ные пощади треугольниковО₁А₁В₁ и ОАВ равны соответственно m_z( ) и , найдем окончательно: Так как произведение дает проекцию вектора на ось z, то равенство можно еще представить в виде или .В результате мы доказали, что между моментом силы относи­тельно оси и ее моментом относительно какого-нибудь центра, лежа­щего на этой оси, существует следующая зависимость: момент силы относительно оси равен проекции на эту ось вектора, изображающего момент данной силы относительно любого центра, лежащего на оси.

Момент пары сил как вектор.Действие пары сил на тело характеризуется: 1) величиной модуля момента пары, 2) плоскостью действия, 3) направлением поворота в этой плоскости. При рассмот­рении пар, не лежащих в одной плоскости, для характеристики каж­дой из пар необходимо бу­дет задать все эти три эле­мента. Это можно сделать, если условиться, по аналогии с моментом силы, изображать момент пары соответствую­щим образом, построенным вектором, а именно: будем изображать момент пары вектором т илиМ, мо­дуль которого равен (в выбранном масштабе) модулю момента пары, т.е. произведению одной из ее сил на плечо, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сто­рону, откуда поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 30).

Как известно модуль момента пары равен моменту одной из ее сил относительно точки, где приложена другая сила, т. е. ; по направлению же векторы этих моментов совпадают. Следовательно

 

Равновесие произвольной пространственной системы сил.

На основании основной теоремы статики сформулируем условия равновесия пространственной системы сил.

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил /? и главный момент М₀относительно любого центра были равны нулю

где О — любой центр, т. к. при R = 0 значение М₀ от выбора центра не зависит.

Условия равновесия в аналитической форме

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на три координатные оси и сумма моментов всех сил относительно этих осей были равны нулю.

Условия равновесия системы параллельных сил

Рис. 1.32

Для равновесия системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на ось, параллельную линиям действия сил, и сумма моментов всех сил относительно двух других осей равнялись нулю (рис. 1.32).

Теорема Вариньона

       Рис. 1.33 _п

Используя основную теорему статики, докажем теорему Вариньона о моменте равнодействующей. Если заданная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительного любого центра О равен сумме моментов сил системы относительно

Пусть система сил приводится к равнодействующей R, проходящей через точку С. Приложим в точке С уравновешивающую R' = -R (рис. 1.33).

Тогда система сил F_],F₁,...,F„,R' должна находиться в равновесии и для нее выполняется условие А/„ = 0, т. е.

 

Центр параллельных сил.

Центром параллельных сил точки на линии действия равнодействующей этих сил которая не изменяет своего положения при повороте всех сил вокруг их точек приложения на один и тот же угол в одном и том же направлении, точку О приложения равнодействующей системы 2-х параллельных сил является их центральное положение этой точки установлен следующим образом применим теоремы Вариньона о моменте равнодействующих сил для случая сложения 2-х параллельных сил не составил пару сил.

 

 

Кинематика

Кинематика точки.

Кинематика точки — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.