Реакция шероховатых связей. Закон трения.
Если поверхность считается шероховатой, то надо учитывать силу трения. Т.е. шероховатая связь будет слагаться из двух составляющих: из нормальной реакции и перпендикулярной к ней силы трения . Поэтому полная реакция будет отклонена от нормали и поверхности на некоторый угол (рис. 6.1).
Рис. 6.1
При изменении силы трения от нуля до сила будет меняться от до , а ее угол с нормалью будет расти от нуля до некоторого предельного значения . Наибольший угол , который образует полная реакция шероховатой связи с нормалью с поверхностью называется углом трения. Из чертежа видно, что
.
Так как , то отсюда находим следующую связь между углом трения и коэффициентом трения
.
Момент силы относительно оси.
Момент силы относительно оси, например Oz (рисунок 1.18), равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную этой оси (F’) относительно точки пересечения оси с плоскостью, т.е.
Mz (F) = MO(F’) = F’∙ h’. (1.9)
Момент считается положительным, если мы смотрим навстречу оси и видим проекцию силы, стремящуюся повернуть плоскость чертежа в направлении против хода часовой стрелки.
Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает ось, т.е. h=0 (например Mz (P)), или сила параллельна оси, т.е. ее проекция на плоскость равна нулю, например, Mz (Q).
Момент силы относительно оси – скалярная величина.
Рисунок 1.18
Моменты силы относительно координатных осей можно получить, расписав векторное произведение
|
|
Величины, стоящие в скобках, представляют собой моменты силы F относительно соответствующих осей.
Вычисление главного вектора и главного момента системы сил.
Системой сил {F}={F1F2F3...Fn} (Рис.4).называется множество сил, приложенных к точкам механической системы.
Главным вектором системы сил называется векторная сумма всех сил системы: V=Fk (6)
Найти главный вектор можно, построив в произвольном центре О векторный многоугольник, в котором начало последующей силы совпадает с концом предыдущей (рис.4). Замыкающая сторона многоугольника и есть главный вектор V системы сил.
Рис.4
Для пространственной системы сил построить многоугольник практически трудно. Проще найти главный вектор аналитически. Проектируя слагаемые формулу (6) на оси координат, определим проекции главного вектора, его модуль и направляющие косинусы:
Vx=Fkx; Vy=Fky; Vz=Fkz (7)
V2=Vx2+Vy2+Vz2; Cos(V,x)=Vx/V; Cos(V,y)=Vy/V; Cos(V,z)=Vz/V
Момент силы относительно точки. Теоремы о моменте
Пусть сила F приложена в точке А тела, имеющей радиус-вектор r относительно центра О.
Моментом силы F относительно центра О называется вектор
Рис.5
mo(F)=rxF (8)
|
|
Направление векторного произведения условно и зависит от ориентированности пространства. Ориентированность пространства- это принятое нами правило соответствия прямой и дуговой стрелок: правого или левого винта. Вектора, направление которых зависит от оринтированности пространства, называются аксиальными. Важно, что для них (Рис.5) дуговая стрелка составляет физическую сущность (показывает направление вращения) а направление самого вектора условено.
Мы будем работать в право ориентированном пространстве и направление векторного произведения всегда будем определять по правилу правого винта: с конца mo видно , что сила стремится повернуть тело против часовой стрелки.
Модуль момента равен произведению модуля силы на плечо h -длину перпендикуляра, опущенного из центра О на линию действия силы.
mo(F)=FrSin=FrSin=Fh (9)
Очевидно, что момент силы тем меньше, чем меньше ее плечо, и он обращается в ноль для любого центра на линии действия силы. Вы это ощущаете, поднимая воротом ведро из колодца, и поэтому стараетесь приложить силу руки так, чтобы создать большее плечо. Из формулы для модуля момента ясно, что момент силы равен нулю только относительно точки, лежащей на линии действия силы.
|
|
Теорема 1. О зависимости момента от центра
Рис.6 а) в общем случае момент силы зависит от центра б) перенос центра параллельно линии действия силы не изменяет момента
Найдем связь между моментами силы F относительно центров А и В. Из Рис.6 ясно, что
rA= AB+rB mA(F)=rAxF=(AB+rB)xF= rBxF +ABxF
Таким образом
mA(F)= mB(F)+ABxF (10)
Теорема 2. О проекциях моментов.
Проектируя (10) на ось z, проходящую через А и В, находим
Рис.7
Таким образом приходим к лемме: прАВmA(F)=прАВmB(F) (11)
поскольку произведение АВ Х F перпендикулярно АВ и его проекция на z равна нулю. Проекции моментов силы относительно всех точек одной оси на эту ось равны между собой. Таким образом проекция моментов на ось характеризует действие силы по отношению к этой оси, поэтому называется моментом сил относительно. Матричное вычисление векторного произведения (момента). Присоединенная матрица. Известно, что векторное произведение можно представить в виде определителя матрицы
c=a x b
c=a x b == (aFz-zFy)i+(zFx-xFz)j+(xFy-yFx)k (12)
mo(F)=r x F== (yFz-zFy)i+(zFx-xFz)j+(xFy-yFx)k
Здесь i, j, k - орты осей x, y, z с началом в центре О, x, y, z - проекции радиуса-вектора r на эти оси.
В матричной алгебре вектору соответствует столбец его проекций на декартовы оси.
Таким образом вектор-столбец момента имеет вид
|
|
mo(F)= (13)
Легко убедится, что этот же результат можно получить, умножив кососимметричную матрицу, составленную из элементов столбца r
R= (14)
на вектор-столбец сил F (1).
m0(F)=RF (15)
Матрица R называется присоединенной матрицей вектора r
В общем случае столбец проекций векторного произведения c=a b удобно находить через присоединенную кососимметричную матрицу первого сомножителя часовой стрелки
c=Ab (16)
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 324; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!