Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Графиком функции 2-х переменных z = f (x, y) является поверхность, проектирующаяся на плоскость xOy в область определения функции D.
Рассмотрим поверхность σ, заданную уравнением z = f (x, y), где f (x, y) – дифференцируемая функция, и пусть M0(x0, y0, z0) – фиксированная точка на поверхности σ, т.е. z0 = f (x0, y0).
Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М0.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f (x, y), в точке M0(x0, y0, z0) имеет вид:
. (5)
Вектор 
называется вектором нормали к поверхности σ в точке М0. Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости (рис. 1).
Нормалью к поверхности σ в точке М0 называется прямая, проходящая
через эту точку и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке.
Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f (x, y), в точке M0(x0, y0, z0), где z0 = f (x0, y0), имеют вид:
. (6)
Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению
Говорят, что в двумерной области D 
xOy задано скалярное поле, если в каждой точке M(x,y) Î D задана скалярная функция координат точки:
U(M) = U(x,y).
Пример: скалярное поле температур T(x, y) в области D.
Линии уровня скалярного поля – это такие линии, на каждой из которых функция U(x, y) сохраняет постоянное значение.
|
|
|
Уравнения линий уровня скалярного поля: U(x, y) = const.
Геометрически линии уровня получаются, если поверхность z = U(x, y) пересекать горизонтальными плоскостями z = С и проектировать линии пересечения на плоскость xOy.
Градиентом скалярного поля U(x, y) в фиксированной точке 
называется вектор, проекции которого на оси координат совпадают с частными производными функции, вычисленными в точке М0:
, (7)
где векторы 
– это орты координатных осей.
Вектор градиента 
направлен перпендикулярно касательной к линии уровня, проходящей через точку М0. Направление градиента указывает направление наибольшего роста функции U(x,y) в точке М0 .
Отложим от фиксированной точки M0(x0, y0) некоторый вектор 
.
Скорость изменения скалярного поля U(x,y) в направлении вектора характеризует величина 
, называемая производной по направлению.
Если в прямоугольной системе координат x О y вектор имеет направляющие косинусы cosa иcosb, то производная функции U(x,y) по направлению вектора в точке М0 – число 
– можно найти по формуле:
, (8)
Напомним формулы для вычисления направляющих косинусов вектора 
:
, где модуль вектора: 
.
Аналогично определяют скалярное поле U(M) в трехмерной области V:
|
|
|
U(M) = U(x,y,z), 
. Поверхности уровня скалярного поля – это такие поверхности, на каждой из которых функция U(x,y,z) сохраняет постоянное значение. Уравнения поверхностей уровня скалярного поля: U(x,y,z) = const.
Градиент скалярного поля U(x,y,z) в произвольной точке M(x, y, z):
, (9)
где векторы 
– это орты координатных осей.
Вектор 
поля U(x,y,z) направлен параллельно нормали к поверхности уровня U(x,y,z) = const в точке М.
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 281; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!