Потенциальные и соленоидальные векторные поля

6.1. Ротор векторного поля

Ротором (вихрем) векторного поля называется вектор

Ротор – это векторная величина, которая является дифференциальной характеристикой векторного поля. Всякое векторное поле сопровождается другим векторным полем его роторов.

Для вычисления ротора удобно использовать его запись в форме определителя:

, (19)

где вектор – это векторно-дифференциальный оператор, называемый оператором Гамильтона или оператором «набла». При вычислении определителя умножению его элементов на функции P, Q, R соответствует операция дифференцирования: , и т.д.

6.2. Потенциальное векторное поле и его потенциал

Векторное поле называется потенциальным, если существует такая скалярная функция U(x,y, z), что . Функция U называется потенциалом векторного поля .

Из определения следует, что потенциальное векторное поле – это поле градиентов некоторого скалярного поля U(M) = U(x,y, z).

Пусть векторное поле задано в некоторой области V.

Область V называется односвязной, если любой замкнутый контур (кривую), лежащий в ней, можно путем непрерывной деформации стянуть в точку, не выходя за пределы данной области. Для плоской области D односвязность означает, что для любого замкнутого контура, лежащего в ней, ограниченная этим контуром часть области целиком принадлежит D.

Потенциальность векторного поля, заданного в односвязной области V, определяется при помощи его ротора: если во всех точках области V ротор векторного поля – нулевой вектор, то это векторное поле является потенциальным.

Важное свойство потенциальных полей заключается в том, что если – потенциальное векторное поле, заданное в некоторой односвязной области V, то выражение

является полным дифференциалом функции U(x,y, z). В этом случае криволинейный интеграл вида

вдоль любой кривой ВС, принадлежащей V, не зависит от формы кривой и равен разности потенциалов в конечной и начальной точках:

Это свойство можно использовать для нахождения потенциала векторного поля при помощи криволинейного интеграла II рода. Для этого нужно взять фиксированную точку В(x₀, y₀, z₀) и произвольную (текущую) точку С(x, y, z) и вычислить криволинейный интеграл по пути ВС:

При этом получаем потенциал U(x,y, z) векторного поля с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

В качестве пути интегрирования ВС обычно выбирают ломаную В EKC (рис. 8), звенья которой параллельны осям координат и E(x,y₀, z₀), K(x,y, z₀).

В этом случае потенциал U(x,y, z) находят по формуле:

. (20)

Если в односвязной области задано потенциальное векторное поле силы

то с помощью потенциала можно найти работу силы при перемещении единичной массы из одной заданной точки M этой области в другую точку N как разность значений потенциалов в этих точках:

. (21)

6.3. Соленоидальное векторное поле

Векторное поле называется соленоидальным, если существует такое векторное поле , для которого поле является полем его роторов: .

Поле называется векторным потенциалом векторного поля .

Практически соленоидальность векторного поля определяется при помощи его дивергенции: если во всех точках односвязной области V дивергенция векторного поля равна нулю, то это векторное поле является соленоидальным.

Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 460; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8910 11 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!