Криволинейный интеграл II рода (по координатам)
Общий вид криволинейного интеграла II рода (по координатам):
,
где BC – это дуга пространственной линии от точки B до точки C с указанным на ней направлением, P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) – некоторые функции, заданные во всех точках дуги BC.
В двумерном случае: , где BC xOy.
Если P (x, y), Q (x, y) – проекции на оси O x и O y вектора переменной силы , то
А = (13)
– это работа силы при перемещении точки ее приложения вдоль участка дуги B C.
Пусть кривая BC задана параметрически: причем функции x (t) и y (t) – непрерывны и дифференцируемы по t, а tB, tC – значения параметра для начала и конца кривой (в точках B и C). Тогда
и вычисление криволинейного интеграла сводится к вычислению определенного интеграла по переменной t:
.
Векторная функция скалярного аргумента
Если каждому значению параметра t из некоторого промежутка ставится в соответствие по некоторому правилу определенный вектор, то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргумента t: .
Откладывая векторы при от начала координат, получаем траекторию движения конца вектора, называемую годографом вектор-функции .
Проекции вектора на оси координат являются функциями аргумента t, поэтому можно записать вектор-функцию в координатной форме:
,
где векторы – это орты координатных осей Ox, Oy и Oz.
Первую, вторую и т.д. производные вектор-функции находят дифференцированием ее проекций x(t), y(t) и z(t) по аргументу t:
|
|
,
.
Если параметр t – это время, то векторное уравнение называют уравнением движения точки, а годограф вектор-функции является траекторией движения. Тогда вектор-производная называется скоростью движения точки в момент времени t:
. (14)
Скорость движения – это вектор, направленный по касательной к траектории движения (годографу) в соответствующей точке в сторону возрастания параметра t. Вектор
(15)
называется ускорением движения точки в момент времени t.
Векторное поле
5.1. Поток векторного поля через поверхность
Если в любой точке M(x,y, z) области V xOyz задан вектор , то говорят, что в области V задано векторное поле .
Примеры: силовое поле , поле скоростей текущей жидкости, поле электростатических напряженностей .
Векторное поле является заданным, если задана векторная функция от координат точки M(x,y, z). Как правило, функцию задают в виде , где P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) являются функциями, о которых предполагают, что они непрерывны и имеют непрерывные частные производные по x,y, z в области V (область V может совпадать со всем пространством).
Аналогично определяют плоское векторное поле в двумерной области D: .
|
|
Пусть в области V xOyz задана двусторонняя поверхность σ, в каждой точке которой определен орт внешней нормали – единичной вектор, коллинеарный нормали к поверхности в этой точке и направленный в сторону, которую условились считать «внешней» стороной поверхности.
Потоквекторного поля через поверхность σ – это интеграл по поверхности σ от скалярного произведения вектора на орт нормали к поверхности (рис. 6):
.
Поток – это интегральная характеристика векторного поля, она является скалярной величиной. Например, для поля скоростей текущей жидкости поток характеризует количество жидкости, проходящей через поверхность σ в направлении «внешней» нормали в единицу времени.
Если поверхность σ задана уравнением F(x, y, z) = 0, то вектор ее нормали коллинеарен градиенту функции, задающей поверхность: , следовательно, орт нормали
.
Для вычисления поверхностного интеграла поверхность σ проектируют на одну из координатных плоскостей, например, в область D x O y. Тогда , и вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла:
, (16)
где знак «+» следует брать в случае, когда вектор и орт «внешней» нормали , указанный в задаче, совпадают по направлению; если эти векторы противоположны по направлению, следует брать знак «–».
|
|
При вычислении двойного интеграла нужно подынтегральную функцию выразить через переменные x,y,используя заданное уравнение поверхности F(x, y, z) = 0.
Поток вектора через замкнутую поверхность σ внаправлении ее «внешней» нормали обозначают .
5.2. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция
Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между интегралом по замкнутой поверхности σ в направлении ее «внешней» нормали и тройным интегралом по области V, ограниченной этой поверхностью:
.
Пусть – векторное поле, заданное в области V x O yz . Д ивергенцией векторного поля называется скалярная функция
, (17)
которая характеризует наличие источников (если > 0) и стоков (если < 0), или их отсутствие (если = 0) векторного поля в точке М.
Используя выражения для дивергенции и для потока вектора через замкнутую поверхность σ, можно записать формулу Остроградского-Гаусса в векторном виде:
, (18)
т.е. поток вектора через замкнутую поверхность σ в направлении ее «внешней» нормали (рис. 7) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по области V, ограниченной поверхностью σ.
|
|
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 166; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!