Задания на контрольную работу №2 по теме «Интегральное исчисление функции нескольких переменных. Векторный анализ. Элементы теории векторного поля»
Контрольная работа состоит из шести задач. Задание в каждой задаче включает в себя его формулировку и десять вариантов исходных данных.
Задача 1. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями. Построить чертеж области интегрирования.
| Номер варианта | Границы области D | Номер варианта | Границы области D |
| 1 | x + y = 3, x = 2y2, y = 0 | 2 | x + y = 1, x2 = y – 1, x = 1 |
| 3 | y = x + 1, 1 – x = y2, y = 0 | 4 | y = x2, 2y = x2, x = 2 |
| 5 | xy = 2, y = 2x, x = 2 | 6 | x + y = 0, x2 = y, y = 1 |
| 7 | x + y = 2, y = x3, x = 0 | 8 | xy = 1, x = y, y = 2 |
| 9 | y = x + 2, y = x2 | 10 | x = y, 2x + y2 = 0, y = 2 |
Указание. Считать плотность вещества 
.
Задача 2. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R, высота цилиндра H и функция плотности 
, где r – полярный радиус точки.
| № варианта | Размеры цилиндра, плотность вещества | № варианта | Размеры цилиндра, плотность вещества |
| 1 | R = 1, H = 0,5, 
| 2 | R = 2, H = 0,5, 
|
| 3 | R = 1, H = 3, 
| 4 | R = 2, H = 1, 
|
| 5 | R = 2, H = 0,5, 
| 6 | R = 3, H = 1, 
|
| 7 | R = 1, H = 2, 
| 8 | R = 4, H = 0,25, 
|
| 9 | R = 1, H = 0,1, 
| 10 | R = 1, H = 5, 
|
Задача 3. Вычислить работу силы 
при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы.
|
|
|
| Номер варианта | Сила 
| Параметрические уравнения кривой L | Значения параметра t в точках B и C |
| 1 | 
| 
| 
|
| 2 | 
| 
| 
|
| 3 | 
| 
| 
|
| 4 | 
| 
| 
|
| 5 | 
| 
| 
|
| 6 | 
| 
| 
|
| 7 | 
| 
| 
|
| 8 | 
| 
|
|
| 9 | 
| 
|
|
| 10 | 
| 
|
|
Задача 4. Задан радиус-вектор движущейся точки: 
. Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 2 минуты после начала движения.
| № варианта | Радиус-вектор | № варианта | Радиус-вектор |
| 1 | 
| 2 | 
|
| 3 | 
| 4 | 
|
| 5 | 
| 6 | 
|
| 7 | 
| 8 | 
|
| 9 | 
| 10 | 
|
Задача 5. Дано векторное поле 
и уравнение плоскости d.
| Номер варианта | Векторное поле 
| Уравнение плоскости d |
| 1 | 
| 2x + 2y + z – 2 = 0 |
| 2 | 
| 2x + 3y + z – 1 = 0 |
| 3 | 
| 3x + 2y + z – 6 = 0 |
| 4 | 
| x + 2y + 2z – 2 = 0 |
| 5 | 
| 3x + y + 2z – 3 = 0 |
| 6 | 
| 4x + y + 2z – 2 = 0 |
| 7 | 
| x + y + 2z – 2 = 0 |
| 8 | 
| 2x + 3y + 4z – 6 = 0 |
| 9 | 
| x + 2y + 4z – 4 = 0 |
| 10 | 
| x + 5y + z – 5 = 0 |
Требуется:
1) найти поток поля через плоскость треугольника АВС где А, В, и С – точки пересечения плоскости d с координатными осями, в направлении нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»; построить чертеж пирамиды ОАВС, где О – начало координат;
2) используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля 
через полную поверхность пирамиды ОАВС в направлении внешней нормали.
|
|
|
Задача 6. Проверить, является ли векторное поле заданной силы 
потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы 
при перемещении единичной массы из точки M в точку N, где точки M и N заданы.
| Номер варианта | Сила
| Точки M и N |
| 1 | 
| M(–1, 0, 0), N(1, 2, 1) |
| 2 | 
| M(0, –2, 1), N(1, 0, 0) |
| 3 | 
| M(1, –2, 0), N(3, 0, –1) |
| 4 | 
| M(0, –1, –2), N(1, –3, 0) |
| 5 | 
| M(–2, 0, 1), N(–1, 1, 0) |
| 6 | 
| M(2, 1, 0), N(0, –1, 3) |
| 7 | 
| M(–1, 2, 1), N(0, 1, –1) |
| 8 | 
| M(0, 1, –2), N(1, –2, –1) |
| 9 | 
| M(0, –1, 4), N(1, 0, 3) |
| 10 | 
| M(2, –2, 1), N(3, 0, –1) |
СоДЕРЖАНИЕ теоретического материала и ссылки на литературу
| № темы | Содержание | Литература |
| 1 | Функции нескольких переменных (ФНП), их частные производные, полное приращение и полный дифференциал. Производные ФНП высших порядков. Свойство смешанных производных высших порядков | [1], гл.IX, § 43.1, 44.1-44.3; [3], гл. VIII, § 1, 3, 5, 7, 12; [5], гл. VIII , № 1192-1195, 1210-1211, 1214-1217, 1228, 1232-1236, 1245; [7], гл. 12, № 1-8, 34-40, 67-72 |
| 2 | Дифференцирование ФНП, заданных неявно | [1], гл.IX, § 44.8; [3], гл. VIII, § 11; [5], гл. VIII , № 1276, 1288, 1289, 1291, 1293, 1294 |
| 3 | Сложные ФНП. Частные производные сложных ФНП. Полная производная ФНП | [1], гл.IX, § 44.6; [3], гл. VIII, § 10; [5], гл. VIII , № 1255, 1257, 1258; [7], гл. 12, № 23-29 |
| 4 | Экстремумы ФНП. Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутой области | [1], гл.IX, § 43.4, 46.1-46.3; [5], гл. VIII , № 1316, 1317, 1319 |
| 5 | Касательная плоскость и нормаль к поверхности | [1], гл.IX, § 45; [3], гл. IX, § 6; [5], гл. VIII , № 1295, 1297-3000; [7], гл. 12, № 94-98 |
| 6 | Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Градиент скалярного поля, его свойства. Производная по направлению | [2], гл. VII, § 24; [3], гл. VIII, § 13-15; [5], гл. VIII , № 1265-1270, 1273; [7], гл. 12, № 46-54; [8], гл. II, № 2.19, 2.22, 2.26, 2.31, 2.32, 2.36, 2.42, 2.44 |
| 7 | Функции комплексной переменной (ФКП). Производная ФКП. Условия Коши-Римана (Эйлера-Даламбера). Аналитические функции комплексной переменной и их дифференцирование | [2], гл. VIII, § 28.1-28.5; [6], гл. VII , № 1012, 1013, 1028, 1029, 1033-1035; [8], гл. III, № 3.29, 3.32, 3.36, 3.37-3.39 |
| 8 | Двойной интеграл и его основные свойства. Вычисление двойного интеграла в декартовых и в полярных координатах. Приложения двойных интегралов | [2], гл.II, § 7.1-7.6; [4], гл. 13, § 1, 2, 4; [6], гл. I , № 1-8, 77, 78, 81, 85, 90, 94; [7], гл. 13, № 1-4, 15-22, 86-89, 96-99 |
| 9 | Тройной интеграл и его основные свойства. Вычисление тройного интеграла в декартовых и в цилиндрических координатах. Приложения тройного интеграла | [2], гл.II, § 8.1-8.4; [4], гл. 13, § 10; [6], гл. I , № 95, 96, 99, 101, 105, 109, 112, 113, 117; [7], гл. 13, № 151, 154, 161, 167, 184 |
| 10 | Криволинейный интеграл II рода (по координатам), его основные свойства, вычисление и приложения | [2], гл.III, § 10.1, 10.2, 10.5; [4], гл. 13, § 5.3, 5.4, 9.2; [6], гл.II , № 181, 182, 189, 200; [7], гл. 13, № 103, 121-126, 147-149; [8], гл. II, № 2.112, 2.113, 2.115 |
| 11 | Вектор-функция скалярного аргумента, ее дифференцирование и физический смысл производных | [3], гл. IX, § 1-4; [5], гл. VII , № 1134, 1136, 1148, 1149 |
| 12 | Векторное поле. Поток векторного поля через поверхность и его вычисление с использованием поверхностного интеграла II рода. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция векторного поля. Вычисление потока векторного поля через замкнутую поверхность | [2], гл. VII, § 25, 25.2, 25.3; [4], гл.13, § 12, 14.2, 14.4, 14.5; [6], гл.II , № 238, 241, 243, 257; [7], гл.13, № 220, 222, 223, 226; [8], гл. II , № 2.62(а), 2.96, 2.99, 2.111 |
| 13 | Ротор векторного поля. Потенциальное векторное поле и его потенциал. Признак потенциальности векторного поля. Свойства потенциальных полей. Нахождение потенциала векторного поля с помощью криволинейного интеграла II рода. Соленоидальное векторное поле, его свойства. Признак соленоидальности векторного поля | [2], гл. VII, § 25.5, 27.1, 27.2; [4], гл. 13, § 14.3, 14.6; [6], гл. II , № 247, 249, 250, 263; [8], гл. II , № 2.60, 2.73, 2.75, 2.131, 2.135-2.137, 2.143 |
Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.
|
|
|
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 392; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!