Задания для выполнения контрольных работ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ
фгоувпо «МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра высшей математики и
программного обеспечения ЭВМ
Методические рекомендации к выполнению контрольных
Работ для студентов 2 курса вечерне-заочного факультета
По дисциплине «Математика»
Часть 4.
Контрольные работы№7, № 8
Дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Функции комплексной переменной. Элементы теории поля. Векторный анализ.
Мурманск
2007 г.
УДК 517.2/.3 (076.5)
ББК 22.1 я 73
М 54
Составители: Кацуба Валентина Сергеевна, канд. физ.-мат. наук, доцент
кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ;
Мостовская Любовь Григорьевна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ;
Демешко Людмила Александровна, ассистент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ
Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой ВМ и ПО ЭВМ 30 мая 2007 г., протокол № 7
Рецензент – Котов А.А., к. т. н., доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ
Редактор
Корректор
ÓМурманский государственный технический университет, 2007
Оглавление
Стр.
Введение. 5
Задания для выполнения контрольных работ. 7
|
|
|
1. Задания на контрольную работу №1 по теме «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Элементы теории скалярного поля. Функции комплексной переменной». 7
2. Задания на контрольную работу №2 по теме «Интегральное исчисление функции нескольких переменных. Векторный анализ. Элементы теории векторного поля» 12
СоДЕРЖАНИЕ теоретического материала и ссылки на литературу.. 15
Справочный материал к выполнению контрольной работы №1 18
1. Функция нескольких переменных и ее частные производные. 18
1.1. Определение функции нескольких переменных. 18
1.2. Частные производные ФНП.. 18
1.3. Полное приращение и полный дифференциал ФНП.. 19
1.4. Производные ФНП высших порядков. 20
2. Частные производные ФНП, заданной неявно. 21
3. Производная сложной ФНП. Полная производная. 22
4. Экстремумы ФНП.. 23
4.1. Локальные максимумы и минимумы ФНП.. 23
4.2 Нахождение наибольшего и наименьшего значений ФНП в замкнутой области 23
5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 24
6. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению.. 25
7. Функции комплексной переменной. 26
7.1. Определение и свойства функции комплексной переменной. 26
|
|
|
7.2. Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП.. 28
Справочный материал к выполнению контрольной работы №2 30
1. Двойной интеграл. 30
1.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. 30
1.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. 31
1.3. Некоторые приложения двойных интегралов. 32
2. Тройной интеграл. 33
2.1. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. 33
2.2. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах. 34
2.3. Некоторые приложения тройных интегралов. 34
3. Криволинейный интеграл II рода (по координатам) 35
4. Векторная функция скалярного аргумента. 36
5. Векторное поле. 37
5.1. Поток векторного поля через поверхность. 37
5.2. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция. 38
6. Потенциальные и соленоидальные векторные поля. 39
6.1. Ротор векторного поля. 39
6.2. Потенциальное векторное поле и его потенциал. 40
6.3. Соленоидальное векторное поле. 42
Решение примерного варианта контрольной работы №1. 43
Решение примерного варианта контрольной работы №2. 54
Рекомендуемая литература.. 63
Введение
Настоящее пособие предназначено для студентов 2 курса вечерне-заочного факультета, обучающихся по техническим специальностям. В пособии содержатся задания к выполнению контрольных работ по темам «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Элементы теории скалярного поля. Функции комплексной переменной» и «Интегральное исчисление функции нескольких переменных. Векторный анализ. Элементы теории векторного поля», а также ссылки на теоретический материал, необходимый для выполнения этих контрольных работ и список рекомендуемой литературы. В результате изучения этих тем студенты должны:
|
|
|
• знать определения основных понятий теории дифференциального исчисления функций нескольких переменных (ФНП): частные производные, полный дифференциал и др.;
• уметь находить частные производные для явно и неявно заданной ФНП, частные производные высших порядков и полную производную для сложной ФНП;
• иметь представление об экстремумах ФНП и уметь находить глобальные экстремумы функции двух переменных в замкнутой области;
• иметь представление об основных поверхностях 2-го порядка, уметь составлять уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности;
• знать основные понятия теории скалярного поля и уметь определять его основные характеристики: линии уровня, градиент, производную по направлению;
|
|
|
• иметь представление о функции комплексной переменной, об ее аналитичности и уметь дифференцировать аналитические функции комплексной переменной;
• знать основные понятия теории интегрального исчисления функций нескольких переменных (двойной, тройной интегралы и криволинейный интеграл II-го рода, их свойства) и уметь решать задачи с применением этих интегралов;
• иметь представление о вектор-функции скалярного аргумента, ее производных и уметь решать задачи с их использованием;
• знать основы теории векторного поля и уметь определять его основные характеристики: поток, дивергенция, ротор;
• знать основные виды векторных полей (потенциальные и соленоидальные), уметь определять вид поля и использовать его свойства.
Данные методические рекомендации включают также справочный материал, необходимый для выполнения контрольных работ по перечисленным темам, и решения примерных вариантов этих двух работ, в которых имеются ссылки на используемый справочный материал.
Задания для выполнения контрольных работ
Перед выполнением каждой контрольной работы необходимо изучить теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии со ссылками на литературу, затем ознакомиться со справочным материалом и образцом выполнения примерного варианта контрольной работы.
Задания на контрольную работу №1 по теме «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Элементы теории скалярного поля. Функции комплексной переменной»
Контрольная работа состоит из семи задач. Задание для каждой задачи включает в себя ее формулировку и десять вариантов исходных данных.
Задача 1. Дана функция z = f (x, y). Требуется:
1) найти частные производные 
и 
;
2) найти полный дифференциал dz;
3) показать, что для данной функции справедливо равенство: 
.
| Номер варианта | Функция | Номер варианта | Функция |
| 1 | z = ln(  + 2y3)
| 2 | z = (y2 – x) arcsin(2x) |
| 3 | z = tg(x – 5y2) | 4 | z =  (y + 4x)2
|
| 5 | z =  + cos(xy)
| 6 | z = ln3 (2y – x) |
| 7 | z = xcos(3x + 2y) | 8 | z = 
|
| 9 | z = x y + sin(x – y) | 10 | z = 4xy5– 
|
Задача 2. Найти частные производные 
, 
и 
, если переменные x, y и z связаны равенством вида F(x, y, z) = 0.
| Номер варианта | Равенство F(x, y, z) = 0 | Номер варианта | Равенство F(x, y, z) = 0 |
| 1 |  + 3x2siny – 2xz3 = 0
| 2 | sin(xy2) + z3xy2 + z4– x = 0 |
| 3 | x  + zy + y2lnx – 2z = 0
| 4 | (x – 2y)4 – 5  + 3cosx – z5 = 0
|
| 5 | ln(xz3) + y3 – 5x2yz4 + 5x = 0 | 6 | cos(y + ez) + xz5y + 3x3 + 4 = 0 |
| 7 |  + ytgx – zx5 + 3y = 0
| 8 | (z – 2x)3 + 3y4 x – y2e2z –2x = 0 |
| 9 | z  +  + y2zx – y5 = 0
| 10 | sin2z + ln(x – y)+ 2x4 – 3yz2 = 0 |
Задача 3. Дана сложная функция z= f (x, y, t), где 
. Найти полную производную 
.
| Номер варианта | Функция z= f (x, y, t) | Функции 
|
| 1 | u = (3t + 2x2 – y)3 | x = tgt, y = 
|
| 2 | u = (4t – x) 
| x =  , y = 
|
| 3 | u = tsin(x3 + y) | x =  + 1, y = t4
|
| 4 | u = tg(x + t ) 
| x = ln(t3+ 1), y = t2 |
| 5 | u = 
| x = sin3t, y = 1 – 5t |
| 6 | u= sin(x2 + y) – y 
| x =  , y = 
|
| 7 | u = 
| x = cos4t, y = sin2t |
| 8 | u = xctg(t – 3y) | x = 2 – 3t2, y = 
|
| 9 | u = ln(2t + x – y2) | x = sin2t, y =3t – 
|
| 10 | u = xy2+ cos(y + 2t) | x = – t, y =2t – 4
|
Задача 4. Дана функция двух переменных: z = f (x, y) и уравнения границ замкнутой области D на плоскости x О y. Требуется:
1) найти наибольшее и наименьшее значения функции z в области D;
2) сделать чертеж области D в системе координат, указав на нем точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.
| Номер варианта | Функция | Уравнения границ области D |
| 1 | z = x2 – xy + 2y2 + 3x + 2y +1 | x = 0, y = 0, x + y = –5 |
| 2 | z = x2 + y2 – 6x + 4y + 2 | x = 1, y = –3, x + y = 2 |
| 3 | z = 5x2 – 3xy + y2 + 5x + 4 | x = –1, y = –2, x + y = 1 |
| 4 | z = x2 – 2y2+ 4xy – 6x – 1 | x = –1, y = 0, x + y = 3 |
| 5 | z = x2 – 3xy + 4x + 8y | x = 0, y =4, x + y = –2 |
| 6 | z = x2 – 4xy + 3y2 + x – y | x = –1, y = –1, y + x = 5 |
| 7 | z = 10 – x – 2xy – x2 | x = – 3, y = – 1, x + y = 0 |
| 8 | z = 2x2 + y2 – xy + x – y + 3 | x = –1, y = 2, x – y = 0 |
| 9 | z = x2– y2 + xy – 3x + 1 | x = 0, y = 0, x + y = 4 |
| 10 | z = x2 + y2 – xy + x – 4y | x = 1, y = 3, x + y = –3 |
Задача 5. Поверхность σ задана уравнением z = f (x, y). Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0, y0 – заданные числа.
| Номер варианта | Уравнение поверхности | Значения x0, y0 |
| 1 | z = 3y – x2y + x | x0 = 1, y0 = 5 |
| 2 | z =  + 3x – y2
| x0 = 1, y0 = –1 |
| 3 | z =  + x3 – 5
| x0 = 1, y0 = 4 |
| 4 | z = y3x – y + x2 | x0 = –1, y0 = 2 |
| 5 | z = cosy + 2x2 – xy | x0 = 2, y0 = 0 |
| 6 | z = xy + y3 + 2x | x0 = 2, y0 = 1 |
| 7 | z = ln(2x) – xy3 + y | x0 =  , y0 = 2
|
| 8 | z =  + x2y – x4 + 1
| x0 = –1, y0 = 0 |
| 9 | z = ysinx + 3y2 | x0 =  , y0 = –1
|
| 10 | z = 2y –  + x5
| x0 = 1, y0 = 3 |
Задача 6. Дано плоское скалярное поле U = U(x,y), точка M0(x0, y0) и вектор 
. Требуется:
1) найти уравнения линий уровня поля U;
2) найти градиент поля в точке M0 и производную 
функции U(x,y) в точке M0 по направлению вектора ;
3) построить в системе координат x О y 4-5 линий уровня, в том числе линию, проходящую через точку M0; изобразить вектор 
на этом чертеже.
| Номер варианта | Скалярное поле | Точка M0 (x0, y0) | Вектор 
|
| 1 | U = x2 + 3y2 | M0(1, 1) |  = 3  – 4 
|
| 2 | U = x2 – 2 y2 | M0(2, 1) |  = 6 + 8
|
| 3 | U = –3y – x2 | M0(–1, –1) | = + 2
|
| 4 | U = y2 – 4x | M0(–2, 1) | = –2 + 2
|
| 5 | U = 2x2 – y2 | M0(1, 1) | = – – 3
|
| 6 | U = 2 x2 + y2 | M0(1, 2) | = 2 + 2
|
| 7 | U = x3 – y | M0(1, –2) | = –2 +
|
| 8 | U =2x + y2 | M0(–2, 1) | = +
|
| 9 | U = (x + 1)2 + y2 | M0(0, 2) | = – 2
|
| 10 | U = 3x2 – y2 | M0(1, –1) | = –2 + 3
|
Задача 7. Дана функция комплексной переменной (ФКП) w = f (z), где
z = x + iy, и точка z0. Требуется:
1) представить ФКП в виде w = u(x,y) +iv(x,y), выделив ее действительную и мнимую части;
2) проверить, является ли функция w аналитической;
3) в случае аналитичности функции w найти ее производную w′ в точке z0.
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 222; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!