Частные производные ФНП, заданной неявно
Если каждой паре чисел (x, y) из некоторой области D 
xOy соответствует одно или несколько значений z, удовлетворяющих уравнению 
, то это уравнение неявно определяет функцию 2-х переменных, например, функцию 
.
Если существуют частные производные функции F(x, y, z): 
и 
, то существуют частные производные от функции z (x, y), которые можно вычислить по формулам:
. (2)
Пример. Дано: 
. Найти 
и 
.
Здесь 
. По формулам (2) находим:
Уравнение F(x, y, z) = 0 неявно определяет еще две функции 2-х переменных: x = x(y, z) и y = y(x, z). Частные производные этих функций можно найти по формулам, аналогичным формулам (2), например:
. (3)
Производная сложной ФНП. Полная производная
Пусть функция z= f (x, y, t) – функция трех переменных x, y и t, причем x и y, в свою очередь, являются функциями независимой переменной t, тогда 
– это сложная функция одной переменной t, а x и y – промежуточные переменные.
Полной производной по переменной t сложной ФНП 
называется её производная 
, вычисленная как производная функции одной переменной t в предположении, что переменные x и y также являются функциями от t, то есть при x = x(t) и y = y(t).
Полная производная вычисляется по формуле:
. (4)
Здесь 
– это полная производная функции z по переменной t при условии, что все другие переменные зависят от t; 
– это частная производная функции z по переменной t при условии, что у функции есть другие независимые переменные, кроме t. При нахождении зависимость переменных x, y от t не учитывается.
|
|
|
В полученный ответ следует подставить функции x = x(t) и y = y(t), чтобы выразить полную производную через независимую переменную t.
Экстремумы ФНП
4.1. Локальные максимумы и минимумы ФНП
Говорят, что функция z = f (x, y) имеет локальный максимум в точке (x0, y0), если существует окрестность точки (x0, y0), в которой выполнено неравенство f (x0, y0) > f (x, y) для всех точек (x, y) из этой окрестности, отличных от (x0, y0): 
.
Если же f (x0, y0) < f (x, y) для всех точек (x, y) из некоторой окрестности точки (x0, y0), отличных от (x0, y0), то функция z имеет локальный минимум ФНП в точке (x0, y0): 
.
Максимум 
и минимум 
называют локальными экстремумами ФНП.
Необходимое условие экстремума ФНП: если функция z = f (x, y) имеет экстремум в точке (x0, y0), то каждая частная производная первого порядка функции z в точке (x0, y0) либоравна нулю, либо не существует.
Необходимое условие не является достаточным. Точки из ООФ, в которых необходимое условие выполнено, называются критическими точками функции, или точками, подозрительными на экстремум.
Если (x0, y0) – это такая критическая точка, в которой 
и 
, то она называется ещё стационарной точкой функции f (x, y).
|
|
|
Нахождение наибольшего и наименьшего значений ФНП в замкнутой области
Область D называется замкнутой областью, если она включает в себя свою границу, и открытой областью, если не включает свою границу.
По свойствам непрерывных функций, непрерывная ФНП z = f (x, y) в замкнутой ограниченной области D xOy достигает своих наибольшего и наименьшего значений zнаиб = М. и zнаим = m, называемых глобальными экстремумами ФНП в области D. Эти значения zнаиб. и zнаим. достигаются или в точках локальных экстремумов функции z = f (x, y) внутри области D или на границе этой области.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения дифференцируемой ФНП в замкнутой ограниченной области D, нужно:
1) найти все стационарные точки функции f (x, y), лежащие внутри области D, и вычислить в них значения функции;
2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;
3) выбрать среди всех найденных значений наибольшее и наименьшее значения функции в области D.
Поскольку на границе области аргументы x и y связаны между собой уравнением границы, то граничное значение функции f (x, y) является функцией одной переменной, и ее исследование проводят по правилам нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на замкнутом промежутке.
|
|
|
Если граница области D является кусочно-заданной, то необходимо исследовать граничное значение функции f (x, y) отдельно на каждом участке границы.
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 404; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!