Справочный материал к выполнению контрольной работы №2
Двойной интеграл
1.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Пусть функция 2-х переменных z = f (x, y) задана и непрерывна в замкнутой области 
xOy. Двойной интеграл от этой функции по области D имеет вид: 
, где 
.
Область 
xOy называется правильной в направлении оси Oy, если всякая прямая, параллельная оси Oy пересекает границу области не более, чем в двух точках (за исключением участков границы, параллельных Oy).
Если область D – правильная в направлении оси Oy (рис. 2), то ее можно задать системой неравенств: 
В этом случае двойной интеграл от функции z = f (x, y) по области D можно вычислить при помощи двукратного (повторного) интеграла:
.
Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной y в предположении, что x – постоянная (x = const); результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция Ф (x). Затем вычисляется внешний интеграл от Ф (x) по переменной x в постоянных пределах, в результате получается число.
Пример. Вычислить 
, если 
, D: 
Если область D – правильная в направлении оси O х (рис. 3), то она задается системой неравенств: 
и тогда двойной интеграл сводится к повторному интегралу по формуле:
.
Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной x в предположении, что y = const; результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция от y, которая затем интегрируется в постоянных пределах.
Если область D – правильная в обоих направлениях, то повторный интеграл не зависит от порядка интегрирования, и для вычисления двойного интеграла можно использовать любой из двух порядков интегрирования:
|
|
|
.
Если область D – неправильная в обоих направлениях, то ее можно разбить на правильные части и воспользоваться свойством аддитивности двойного интеграла: 
.
1.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Пусть область D задается в полярных координатах системой неравенств 
Такая область (рис. 4) является правильной в полярной системе координат (каждый луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в 2-x точках, за исключением участков границы, совпадающих с некоторым полярным лучом).
Преобразование двойного интеграла по области D к полярным координатам осуществляется при помощи формул
:
.
Полученный двойной интеграл в полярных координатах может быть сведен к повторному интегралу при помощи неравенств, задающих область D. В результате получаем формулу перехода от двойного интеграла к повторному интегралу в полярных координатах:
.
1.3. Некоторые приложения двойных интегралов
Если подынтегральная функция f (x, y) º 1, то двойной интеграл от функции f (x, y) по области D равен площади области интегрирования:
|
|
|
.
Если область D занята тонкой пластинкой и 
– поверхностная плотность распределения неоднородного материала (т.е. масса единицы площади), то при помощи двойного интеграла можно вычислить массу пластинки, ее статические моменты относительно осей координат и другие величины.
Масса пластинки:m = 
.
Статический момент относительно оси Ox:
. (11)
Статический момент относительно оси Oy: My = 
.
Все перечисленные интегралы можно вычислить в декартовых либо в полярных координатах, переходя к соответствующему повторному интегралу.
Тройной интеграл
2.1. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
Пусть функция 3-х переменных u = f (x, y, z) задана и непрерывна в замкнутой области V 
x O yz. Тройной интеграл от этой функции по области V имеет вид: 
, где 
.
Если область V – правильная в направлении оси Oz (рис. 5), то ее можно задать системой неравенств: 
где z = z1(x, y) и z = z2(x, y) – это уравнения поверхностей, ограничивающих область (тело) V соответственно снизу и сверху (рис. 5).
Если область D можно задать системой неравенств
то 
В этом случае тройной интеграл от функции u = f (x, y, z) по области V можно вычислить при помощи трехкратного повторного интеграла:
|
|
|
.
Здесь каждый внутренний интеграл вычисляется по «своей» переменной интегрирования в предположении, что переменные интегрирования внешних интегралов остаются постоянными.
Существует всего 6 вариантов сведения тройного интеграла к трехкратному в декартовых координатах (в зависимости от выбранного порядка интегрирования).
2.2. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
Цилиндрические координаты точки М в пространстве – это ее полярные координаты на плоскости xOy и координата z,т.е. 
.
Преобразование тройного интеграла по области V к цилиндрическим координатам осуществляется при помощи формул 
, 
, 
: 
.
Если область V задана системой неравенств:
причем 
то V: 
Вычисление тройного интеграла по области V в цилиндрических координатах сводится к вычислению трехкратного интеграла в соответствии с записанной системой неравенств для области V:
.
2.3. Некоторые приложения тройных интегралов
Если подынтегральная функция f (x, y, z) º 1, то тройной интеграл от нее по области V равен мере области интегрирования – объему пространственного тела, занимающего область V: 
.
|
|
|
Если 
– это плотность неоднородного материала (т.е. масса единицы объема), из которого изготовлено тело, то при помощи тройного интеграла можно вычислить массу тела, его статические моменты относительно координатных плоскостей и другие величины. Например, формула для вычисления массы тела имеет вид:
. (12)
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 191; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!