ТЙНДАЛЬ — ТИПОВ ТЕОРИЯ                                                                     233 3 страница

Не все логики и математики придерживаются такой классич. т. зр. на логику. Напр., в интуиционистском истолковании логика не имеет независимой от опыта онтология, значимости,— ее роль исключительно эпистемологическая (от греч. ёт0тг,цт)— знание). Поэтому в интуиционистской логике нет (и не может быть в силу интуиционистской интерпрета­ции логич. констант — см. Интуиционизм) понятия Т. и. в указанном выше смысле. Логически истинными с этой т. зр. естественно, напр., называть выводимые в интуиционистском исчислении (о понятии «интуи­ционистское исчисление» см. в ст. Минимальная ло­гика, Положительная логика) формулы (и только их), ограничивая понятие логич. истины по существу эмпи­рической (и конструктивной) идеей проверяемости (алгоритмич. разрешимости относительно выводимости или доказуемости). См. также ст. Логическая истин­ность, Тавтология и лит. при этих статьях.

Лит.: Гейтинг А., Интуиционизм, пер. с англ., М., 1965, гл. 1, 7; К о э н П. Д ж., Теория множеств и кон­тинуум-гипотеза, пер. с англ., ML, 1969, гл. 1, § 3.

М. Новосёлов. Москва.

ТОЖДЕСТВО. Понятие Т. является осн. понятием философии, логики и математики, поэтому к нему относятся все трудности, связанные с выяснением и определением исходных (основных, фундаментальных) понятий науки. В комплексе вопросов, относящихся к понятию Т., особого внимания заслуживают два: вопрос о Т. «... самом по себе. Признаем мы, что оно

существует, или не признаем?» (Plato, Phaed. 74 Ь; рус. пер. Соч., т. 2, 1970) и вопрос о Т. вещей. (Т. вещей выражают обычно символом «=», к-рый встре­чается впервые у Р. Рекорда в его «The whetstone of witte», L., 1557.) Первый из этих вопросов является частью вопроса об онтологич. статусе абстрактных объектов (см., напр., Отношение, Универсалии), второй имеет самостоят, значение. Как бы эти вопросы ни решались в философии, для логики и математики их решение всегда эквивалентно решению вопроса об определении понятия Т. Однако нетрудно убедиться, проанализировав любое из известных логических (математических) определений Т. (вместе со способом его обоснования), что «идея Т.» и так или иначе опре­деленное «понятие Т.» — это не одно и то же. Идея Т. предваряет любое определение понятия (пре­диката) Т., равно как и вводимое определением поня­тие «тождественные вещи». Это обусловлено тем, что суждение о Т. к.-л. объектов всегда предполагает, что уже выполнены (или должны быть выполнены) какие-то другие, вспомогательные, но необходимые — отнюдь не посторонние для данного суждения — отож­дествления. Именно в связи с проблемой «допустимых отождествлений» филос. анализ может послужить полезной предпосылкой для логического и матем. ана­лиза понятия Т.

Принцип индивидуации. В соответствии с филос. т. зр. следует различать онтологич., гносеологич. и семантич. проблемы Т. вещей. Онтологическая проблема Т. — это проблема Т. вещей «самих по себе» или in se — по их • «внутреннему обстоянпю» (Г. Кантор). Она ставится и решается на основе прин­ципа и н д и в и д у а ц и и (principium individuatio-nis): всякая вещь универсума есть единств, вещь; двух различных вещей, из к-рых каждая была бы тою же вещью, что и другая, не существует. Именно «...в со­ответствии с началами индивидуации, которые про­истекают от материи» мы принимаем, что «... всякая самосущая вещь, составленная из материи и формы, составлена из индивидуальной формы и индивидуаль­ной материи» (Фома А к в и н с к и й, цит. по кн.: «Антология мировой философии», т. 1, ч. 2, М., 1969, с. 847, 862). Принцип индивидуации не содержит в себе никакого указания на то, как индивидуализи­ровать предметы универсума или как они индивидуа­лизированы «сами по себе», поскольку это уже имеет место; он лишь постулирует абстрактную возможность такой индивидуализации. И это естественно, коль скоро мы понимаем его как принцип чисто онтологи­ческий. Вопрос о том, как индивидуализировать пред­меты универсума, есть уже гносеологич. вопрос. Но в этом случае никакая возможная индивидуализация не выводит нас за пределы того интервала абстракции, к-рым определяется универсум рассуждения (см. Универсум).

Хотя принцип индивидуации является древним фи­лос. утверждением о мире, его аналоги можно найти и в (современных) собственно научных (математиче­ских, физических и др.) теориях. В этой связи можно сослаться на идею «субстанциональных», или миро­вых, точек (пространственных точек в определенный момент времени) в четырехмерном (абстрактном) «мире Минковского» и связанную с ней идею прост­ранственно-временной модели физич. реальности, поз­воляющую индивидуализировать каждый ее объект, или на принцип Паули, или, наконец, на гипотезу Г. Кантора о том, что любые два элемента произволь­ного множества различимы между собой. Можно даже считать, что принцип индивидуации лежит в основе всей классич. математики с ее — в известном смысле онтологическим — «само собой разумеющимся» по­стулатом упорядоченного (по величине) числового континуума.

ТОЖДЕСТВО                                                                                    239

Принцип Т. неразличимых. Принимая принцип ин-дивидуации, мы, тем не менее, как в повседневной прак­тике, так и в теории, постоянно отождествляем раз­личные предметы, т. е. говорим о разных предметах так, как если бы они были одной и той же вещью. Возникающая при этом абстракция отожде­ствления различного была впервые явно отмечена Лейбницем в его знаменитом принципе Т. неразличимых (Principium identitatis indiscernibi-lium). Кажущееся противоречие между принципом индивидуации и принципом Т. неразличимых легко разъяснить. Противоречие возникает лишь тогда, когда, полагая, что, напр., х и у — разные вещи, в формулировке принципа Т. неразличимых имеют в виду их абсолютную, или онтологическую, неразличимость, а именно, когда думают, что неразличимость х и у предполагает, что х и у «сами по себе» не отличимы по любому признаку. Од­нако, если иметь в виду относительную, или гно­сеологическую, неразличимость х ж у, напр. их неразличимость «для нас», хотя бы ту, с к-рой мы можем встретиться в результате практически осуществимого сравнения х и у (см. об этом в ст. Срав­нение), то никакого противоречия не возникает. Если различать понятия «вещь», пли предмет универсума «сам по себе», и «объект», или предмет универсума в познании, в практике, в отношении к др. предметам, то совместимость принципа Т. неразличимых и прин­ципа индивидуации должна означать, что нет тождест­венных вещей, но есть тождественные объекты.

Очевидно, что с онтологич. т. зр., выраженной в принципе индивидуации, Т. представляется абст­ракцией и, следовательно, идеализацией. Тем не ме­нее оно имеет объективное основание в условиях суще­ствования вещей: практика убеждает нас в том, что существуют ситуации, в к-рых «разные» вещи ведут себя как «одна и та же» вещь. В этом смысле принцип Т. неразличимых выражает эмпирически подтверж­даемый, основанный на опыте, факт нашей абстраги­рующей деятельности. Поэтому «отождествление раз­личного» по принципу Лейбница не следует понимать как упрощение или огрубление действительности, не соответствующее, вообще говоря, истинно м у п о-рядку природы.

Интервал абстракции отождествления. Неразли­чимость объектов, отождествляемых согласно прин­ципу Т. неразличимых, может выражаться операцио­нально — в их «поведении», истолковываться в тер­минах свойств, вообще определяться совокупностью нек-рых фиксиров. условий неразличимости. Эта сово­купность условий (функций или предикатов), отно­сительно к-рых к.-л. предметы универсума неразли­чимы, определяет интервал абстракции отождествления этих предметов. Так, если на множестве предметов определено свойство А и предмет х им обладает, то для отождествления х и у в интервале абстракции, определяемом свойством А, необходимо и достаточно, чтобы предмет у также об­ладал свойством А, что символически можно выразить следующей аксиомой: А(ж)з ((х=у)=А(у)). Заметим, что при наличии «избыточной» информации о заведо­мом (естественно — «вне» данного интервала абстрак­ции) различии предметов их отождествление «внутри» данного интервала абстракции может даже казаться парадоксальным. Типичный пример из теории мно­жеств — «парадокс Сколема».

Если смотреть «изнутри» интервала абстракции, оп­ределяемого свойством А, то х и у — абсолютно один и тот же объект, а не два предмета, как предполагается в приведенном выше рассуждении. Дело в том, что рассуждение о Т. двух и, следовательно, раз­личных предметов возможно только в нек-ром метаинтервале, указывающем также на возможность

индивидуализации х и у. Очевидно, что неразличи­мость х и у эквивалентна здесь их взаимозаменимости относительно свойства А, но, разумеется, не относи­тельно любого свойства. В этой связи укажу на а б-стракцию актуальной различим о-с т и, вытекающую из принципа индивидуации и связанную с таким истолкованием этого принципа, при к-ром он сводится к утверждению о существовании условий, в к-рых индиви­дуализация всегда осуществима (напр., условий, в к-рых х и у уже не будут взаимозаменимы, что и позволит, естественно, говорить об их инди­видуальности). В этом смысле принцип индиви­дуации отличается тем же характером, что и т. н. «чистые» постулаты существования в математике, и. может рассматриваться как абстракция ин­дивидуализации. Не говоря уже об «абст­рактных» матем. объектах, очевидно, что и для «кон­кретных» физич. предметов природы условия индиви­дуализации любого из них отнюдь не всегда могут быть найдены или явно указаны в к.-л. конструктивном смысле. Более того, задача их разыскания иногда принципиально неосуществима, как об этом свидетель­ствует, напр., принцип «неделимости квантовых со­стояний» и обусловленная им, предписанная самой природой, неопределенность в нашем описании «ин­дивидуального поведения» элементарных частиц.

Дополнения. Интервал абстракции отождествления может быть столь (но не сколь угодно) широк, что в него войдут все (исходные) понятия (функции или пре­дикаты) рассматриваемой в том или ином случае тео­рии. Тогда говорят, что ж=г/ для любого понятия А. В этом случае и квантор «для любого», и Т. имеют о т-нос и тельный характер — они релятиви-знрованы множеством понятий теории, к-рое ограничено, в свою очередь, осмысленностью этих понятий (интервалом з н а ч е н и я) по отно­шению к предметам универсума данной теории. Напр., предикат «красный» не определен на множестве на­туральных чисел и поэтому к нему не могут относить­ся слова «для любого предиката», когда говорят о Т. в арифметике. Такие смысловые ограниче­ния по сути дела всегда имеют место в приложениях теории, чем и исключаются противоречия, связанные с нарушением интервала абстракции отождествления.

Поскольку в отождествлениях имеют в виду только предикаты данной теории — интервал абстракции отождествления фиксирован. Предметы универсума, неразличимые относительно каждого предиката тео­рии, неразличимы абсолютно в данном интервале абстракции и могут рассматриваться как «один и тот же» объект, что как раз и соответствует обычному истолкованию Т. Если относительно каждого такого предиката неразличимы все предметы уни­версума, то последний в этом случае будет представ­ляться нам одночленной совокупностью, хотя в др. интервале абстракции он может и не быть таковым. Так, если условие А — тавтология, то в подразуме­ваемой предметной области все предметы тождествен­ны в интервале А. Иначе говоря, тавтологии не могут служить критерием различимости объектов, они как бы проектируют универсум в точку, производя абст­ракцию отождествления элементов множества любой мощности, «превращая» разные элементы в «один и тот же» абстрактный объект. Неудивительно поэтому, что к аксиомам «чистого» предикатов исчисления первой ступени можно без противоречия присоединять фор­мулу ^хА (х) Z ) yfxA ( x ), выражающую тождественность (или абсолютную неразличимость) всех предметов уни­версума. По-видимому, эта неполнота чистого исчисле­ния предикатов (элементарной логики) обусловлена именно его неонтологическим характе-р о м. В прикладных логических исчислениях, в част-

240

ТОЖДЕСТВО

 

ности в теории множеств, выходя из сферы «чистой логики», мы вынуждены — во избежание парадоксов — фиксировать интервал абстракции отождествления. В этих случаях Т., поскольку речь идет об отождест­влениях только в данной системе понятий, может быть введено конечным списком аксиом Т. для конкретных функций и предикатов рассматриваемой теории. Но постулируя т. о. те или иные отождествления, мы как бы формируем универсум в соответствии с принципом Т. неразличимых.

Значит универсум в этом смысле является эпистемо-логич. понятием, зависящим от наших абстракций. Вопрос, что считать «одним и тем же» объектом, каково число «различных» индивидуумов в предметной об­ласти (какова мощность области индивидуумов),— это в известном смысле вопрос о том, как мы приме­няем наши абстракции и кг кис именно, а также ка­кова объективная область их применимости. В част­ности, это всегда гопрос об интервале абстракции. Вот почему с нги'ей т. зр. указание на ин­тервал абстракции отождествле­ния в определении Т. следует счи­тать необходимым условием осмыс­ленного применения «понятия Т.». Понятие «интервал абстракции отождествления» яв­ляется гносеологич. дополнением к понятию абстрак­ции отождествления и, в известном смысле (содержа­тельным), его уточнением. Кроме того, вводя понятие Т. в интервале абстракции, мы легко достигаем необ­ходимой общности в построении теории Т., избегая обычного «умножения понятий», связанного с различе­нием терминов «тождественный», «подобный», «равный», «эквивалентный» и пр.

В связи с вышесказанным определение предиката Т. в фор­мулировке Гильберта — Бернайса, задаваемое, как известно, условиями:

1) х-х

2) ж = уэ (А(ж)э МУ)),

можно интерпретировать так, что условие 2) будет выражать Т. предметов универсума в интервале абстракции, определяе­мом множеством аксиом, задаваемых схемой аксиом 2). Что же касается условия 1), то, выражая свойство рефлексивности Т., оно в известном смысле соответствует принципу индивидуации. По крайней мере, очевидно, что из принципа индивидуации не следует отрицания условия х—х, поскольку между принци­пом индивидуации и традиц. принципом Т. (абстрактным Т.— !ех identitatis), выражаемым формулой эс=зс, имеется следую­щая определенная «связь по смыслу»: если бы индивидуаль­ный предмет универсума не был тождествен с самим собой, то он не был бы самим собой, а был бы другим предметом, что, конечно, ведет к отрицанию принципа индивидуации (ср. Энгельс Ф.: «... тождество с собой уже с самого начала имеет своим необходимым дополнением отличие от всего другого» — Маркс К. иЭнгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 530). Т. о., принцип индивидуации пред­полагает утверждение х=х, к-рое является его необходимым условием — логической основой понятия инди­видуального. Достаточно констатировать совместимость х~х с принципом индивидуации, чтобы, основываясь на совмести­мости 1) и 2), утверждать совместимость принципа индивидуа­ции с принципом Т. неразличимых, а принимая во внимание независимость 1) и 2), прийти к заключению о независимости этих же принципов, по крайней мере, в рассматриваемом слу­чае. То обстоятельство, что принцип индивидуации в отмечен­ном выше смысле соответствует традиц. закону Т. (см. Тож­дества закон), представляет особый интерес с т. зр. проблемы «реализуемости» абстрактного Т. в природе, а значит, и онтоло-гич. статуса абстракций вообще.

Принцип Т. неразличимых в том его истолковании, к-рое дано выше — как принцип Т. в интервале аб­стракции,— выражает по существу философскую гно­сеологическую идею Т., основанного на понятии прак­тики. Что же касается математики, где так или иначе оперируют с предикатом Т., с условием, что тождест­венное можно заменять тождественным (см. Правило замены равного равным), то здесь, принимая принцип индивидуации, т. е. полагая, что каждый матем. объ­ект в универсуме рассуждения индивидуален, по видимости, легко можно уйти от решения гносеологич. проблемы Т., потому что в предложениях матем. тео­рий матем. объекты фигурируют не «сами по себе»,

а через своих представителей — обозначающие их символы. Отсюда возможность построений, сущест­венно игнорирующих условие индивидуальности этих объектов. Так, известное построение взаимно-одно­значного соответствия между совокупностью нату­ральных чисел и ее частью — совокупностью всех чет­ных чисел (парадокс Галилея) игнорирует единствен­ность каждого натурального числа, довольствуясь Т. его представителей: иначе как возможно указанное построение? Аналогичных построений в математике множество. Утверждению «предмет х тождествен предмету у» математик обычно приписывает следую­щий смысл: «символы хну обозначают один и тот же предмет» или «символ х обозначает тот же предмет, к-рый обозначен символом у». Очевидно, что так по­нимаемое Т. относится скорее к языку соответствую­щих исчислений (вообще к формализованному языку) п выражает, по существу, случай языковой синони­мии, а вовсе не философский гносеологич. смысл Т. Однако характерно, что даже и в этом случае не удается избежать относит, отождествления, основан­ного на применении принципа абстракции,поскольку синонимы возникают как результат абстракции отож­дествления по обозначению (см. Синонимы в логике). К тому же при интерпретации исчислений любое та­кое семантическое определение Т. как «от­ношения между выражениями языка» необходимо до­полнять разъяснением того, что в этой семантич. фор­мулировке Т. означают слова «один и тот же предмет».

В связи с этим формулировка принципа Т., извест­ная как лейбницевско-расселовская (см. Равенство в логике и математике), вряд ли соответствует филос. т. зр. самого Лейбница. Известно, что Лейбниц при­нимал принцип индивидуации: «Если бы два индивида были совершенно... не различимы сами по себе, то ...в этом случае не было бы индивидуального различия или различных индивидов» («Новые опыты о человече­ском разуме», М.—Л., 1936, с. 202). Известно также, что любое нетривиальное употребление Т., соответ-ств5⁷ющео принципу Т. неразличимых, предпола­гает, что х и у — разные предметы, к-рые лишь отно­сительно неразличимы, неразличимы в нок-ром интер­вале абстракции, определяемом либо разрешающей способностью наших средств различения, либо при­нимаемой нами абстракцией отождествления, либо, наконец, задаваемом самой природой. Но в формули­ровке Рассела наличие неогранич. квантора общности по предикатной переменной, придавая определению абсолютный характер («абсолютность» здесь сле­дует понимать как антипод «относительности» в указ. выше смысле), навязывает идею абс. неразличимости х и у, противоречащую принципу индивидуации, хотя из определения Рассела выводима формула х—х, к-рая, как было отмечено выше, совместима и с принципом Т. неразличимых и с  принципом индивидуации.

В свете идеи Т. в интервале абстракции выясняется еще одна гносеологич. роль принципа абстракции: если в определении Т. предикат (хотя бы и произволь­ный) характеризует класс абстракции предмета х, и з/ — элемент этого класса, то тождественность х и у в силу принципа абстракции не предполагает, что х и у должны быть одним и тем же предметом в онтоло-гич. смысле. С этой т. зр., два предмета универсума, принадлежащие к одному классу абстракции, рассмат­риваются как «один п тот же» предмет не в онтологи­ческом, а в гносеологич. смысле: они тождественны только как абстрактные представители одного класса абстракции и только в этом смысле они неразличимы. В этом, собственно, п состоит диалектика понятия Т., а также ответ на вопрос: «Как могут быть тождест­венны разные предметы?».

---

Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 173; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!