Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями
Пусть дуга задана параметрическими уравнениями , , , где , – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке , и – монотонная функция. Тогда длина дуги вычисляется по формуле
(8)
Площадь поверхности вращения
Площадь поверхности вращения в декартовых координатах
Пусть поверхность образована вращением вокруг оси дуги , заданной уравнением , , где – неотрицательная непрерывно дифференцируемая на отрезке функция.
За площадь поверхности вращения принимают предел площадей поверхностей, образованных вращением вокруг оси вписанных в дугу ломаных, при неограниченном увеличении числа звеньев ломаной и стремлении к нулю наибольшей из длин ее звеньев.
(9)
Площадь поверхности вращения в случае параметрического задания кривой
В случае задания кривой параметрическими уравнениями , , где функции , – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке , – монотонна и , , в результате замены переменной в интеграле в равенстве (7.8) получаем формулу
(10)
Объём тел вращения
Пусть функция непрерывна и неотрицательна на . Тогда тело, которое образуется вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции (рис. 9), имеет объём
. (11)
|
|
Если тело вращается вокруг оси (рис.10), то его объём:
. (12)
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
Решение. Изобразим данную фигуру (рис. 11.).
Площадь заданной фигуры может быть найдена с помощью интеграла (формула 3). Найдём границы интегрирования, решив систему уравнений , т.е. , . Итак, согласно формуле (7.3), имеем:
(кв.ед.).
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: , и .
Решение. Парабола пересекает ось абсцисс в точках и . Фигура, площадь которой требуется найти показана на рис. 12 штриховкой. Пусть и – площади частей этой фигуры, соответствующих отрезкам и , а – искомая площадь; тогда .
Используя формулу (1), получим
(кв. ед.), а по формуле (2) находим (кв. ед.).
Следовательно, (кв. ед.).
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью (рис. 13).
Решение. По формуле (5) имеем
.
Пример 4. Вычислить длину дугипараболы
Решение. Функция непрерывна на отрезке , ее производная непрерывна на полуинтервале и . Поэтому для длины данной дуги параболы по формуле (7.7.) получаем несобственный интеграл . Определение несобственных интегралов было рассмотрено в параграфе 6. Имеем .
|
|
Рассмотрим отдельно неопределенный интеграл:
Тогда
Пример 5. Найти длину дуги полукубической параболы , отсеченной прямой (рис. 14).
Решение. Длина дуги равна удвоенной длине дуги . Значение параметра , соответствующее точке пересечения параболы с прямой, найдем из системы уравнений . Получим . Аналогично . Тогда
.
Пример 6. Вычислить площадь части поверхности параболоида , отсеченной плоскостью .
Решение. Данная поверхность является поверхностью, образованной вращением вокруг оси дуги параболы , . Тогда и по формуле (7.9.) получаем:
Пример 7. Найти площадь поверхности, полученной вращением циклоиды вокруг оси (см. рис. 13)
Решение. По формуле (10) имеем
Пример 8. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями .
Решение. Объём тела найдём, используя формулу (12):
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 525; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!