Примеры решения типовых задач

Рассмотрим два наиболее простых способа нахождения неопределённых коэффициентов на одном конкретном примере.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. I метод – метод неопределённых коэффициентов.

Разложим знаменатель на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами: и запишем разложение данной дроби на простейшие с неопределёнными коэффициентами: . Приведя к общему знаменателю правую часть, получим равенство числителей: .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях этого равенства.

При .

Тогда и .

Далее находим неопределённый интеграл:

II метод – метод частных значений.

Придадим аргументу столько различных значений, сколько имеется неопределённых коэффициентов, используя в первую очередь корни знаменателя.

. Тогда получим систему независимых уравнений, из которой имеем: .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Представим дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами: . Приведя дроби в обеих частях к общему знаменателю, получим: . Найдём неопределённые коэффициенты методом частных значений, придадим аргументу последовательно значения –1, 1, 0. Получим систему: , откуда и . Таким образом: .

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. Выделим целую часть дроби:

Разложим знаменатель дроби на множители с действительными коэффициентами:

. Умножая это равенство на общий знаменатель, получим: . Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа.

При .

При . Тогда и

. Итак, вычислим неопределённый интеграл: .

Задания для самостоятельной работы

7.5. Вычислить интеграл от дроби, содержащий в знаменателе квадратный трехчлен:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

7.6. Вычислить интегралы от рациональных функций:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж)	з) .

Ответы

7.5 a) arctg (x+2)+С; б) ; в) ln + ; г) ; д)arctg(2x+1)+С; е) ; ж) ; з) ). 7.6. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж)3ln(x+2)– ; з)

7.3. Интегрирование некоторых тригонометрических и
иррациональных функций

Краткие теоретические сведения

В этом параграфе для интегралов от некоторых классов тригонометрических и иррациональных выражений будут даны рационализирующие подстановки, то есть замены переменной, приводящие исходный интеграл к интегралу от рациональной дроби. Здесь через будем обозначать рациональные функции.

Интегрирование тригонометрических функций

I. Интегралы вида приводятся к интегралам от рациональной функции новой переменной с помощью универсальной тригонометрической подстановки .В этом случае .