Примеры решения типовых задач
Пример 1. 
. Установить при каких значениях 
этот интеграл сходится, а при каких расходится.
Решение. Пусть 
. Тогда 
.
Итак, 
. Следовательно, если 
, то 
(т.к. 
при 
), т.е. интеграл сходится; если 
, то 
(т.к. 
при 
), т.е. интеграл расходится.
При 
, т.е. интеграл расходится.
Пример 2. Доказать, что 
сходится.
Решение. Известно, что при 
. Тогда 
– сходится.
Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл 
.
Решение. Функция терпит разрыв в точке 
. Очевидно, что при 
, тогда
. Итак, интеграл 
сходится.
Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл 
.
Решение. Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв при 
, следовательно, по определению:
. Интеграл сходится.
Пример 5. Найти условия сходимости и расходимости несобственных интегралов 
.
Решение. Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв при 
.
Пусть 
.
Тогда 
и если 
, то 
;если 
, то 
.
Пусть 
. Тогда
.
Итак, данный интеграл сходится при 
и расходится при 
.
Задания для самостоятельной работы
7.10. Исследовать на сходимость интегралы:
а)  ;
| б)  ;
|
в)  ;
| г)  ;
|
д)  ;
| е)  ;
|
ж)  ;
| з)  .
|
Ответы
7.10. а)0; б) 
; в) 
; г) 
; д) не существует; е) 
; ж)2; з) 
.
Приложения определённого интеграла
Краткие теоретические сведения
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции в декартовых координатах
Нами было установлено, что геометрический смысл определённого интеграла – площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью 
, прямыми 
, 
и графиком функции 
. Таким образом, если функция 
неотрицательна на отрезке 
, то площадь 
под кривой 
на (рис. 4) численно равна определенному интегралу от 
на данном отрезке:
|
|
|
. (1)
Если функция неположительна на отрезке , то площадь над кривой на 
(рис. 5) численно равна определенному интегралу от на данном отрезке, взятому со знаком «минус»:
. (2)
Если 
на отрезке , то фигуры, заключенной между кривыми 
и 
на этом отрезке (рис.6) вычисляется по формуле
. (3)
Если криволинейная трапеция прилегает к оси ординат и ограничена непрерывной кривой 
, прямыми 
, 
и осью 
(рис. 7), то ее площадь вычисляется по формуле
. (4)
Площадь криволинейной трапеции в случае параметрического
задания граничной кривой
Для вычисления площади криволинейной трапеции при задании верхней ограничивающей кривой параметрическими уравнениями 
, 
, где 
– непрерывна, а 
– монотонно возрастает и непрерывно дифференцируема на отрезке 
и 
, 
, достаточно в формуле для вычисления площади в прямоугольных декартовых координатах сделать в интеграле замену переменной 
:
|
|
|
(5)
При монотонном убывании , то есть при 
, 
, 
будем иметь
(6)
Длина дуги кривой
Длина дуги кривой в декартовых координатах
Пусть 
– несамопересекающаяся незамкнутая дуга кривой. Такие дуги называются также простыми дугами. За длину простой дуги принимают предел периметров вписанных ломаных при стремлении наибольшей
из длин звеньев ломаной к нулю, если этот предел существует и конечен. В случае замкнутой кривой, а также самопересекающейся кривой, когда она может быть разбита на конечное число простых дуг, за длину кривой принимают сумму длин простых дуг, ее составляющих (рис. 8).
Пусть дуга 
задана уравнением 
, 
, где функция 
– непрерывна и имеет непрерывную производную на отрезке . Тогда ее длина 
вычисляется по формуле:
(7.)
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 178; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!