Примеры решения типовых задач
Пример 1. Вычислить определенный интеграл 
.
Решение. Положим 
при 
, при 
. Применим подстановку:
.
Пример 2. Вычислить определенный интеграл 
.
Решение. Применим метод интегрирования по частям, пусть 
. Тогда
.
Пример 3. Вычислить определенный интеграл 
.
Решение. Применим универсальную тригонометрическую подстановку. Пусть
. Тогда
.
Задания для самостоятельной работы
7.9. Вычислить определенные интегралы:
а)  ;
| б)  ;
|
в)  ;
| г)  ;
|
д)  ;
| е)  ;
|
ж)  ;
| з)  .
|
Ответы
7.9. а) 1– 
; б)1/64; в)–2; г)arctg2; д) 
; е)0; ж) 
; з) 
.
Несобственные интегралы.
Краткие теоретические сведения
Несобственные интегралы являются обобщением понятия определённого интеграла на случаи: 1) когда область интегрирования является не отрезок 
, а полупрямые 
, 
или вся прямая 
; 2) когда функция имеет точки разрыва 2-го рода, в окрестностях которых функция неограниченна.
Если функция 
непрерывна на полупрямой 
, то 
– некоторая непрерывная функция от 
. Тогда предел 
(6.1) называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом функции на 
и обозначается
(1).
Таким образом
= 
. (2)
На рис. 2 в случае неотрицательной функции 
проиллюстрировано вычисление площади фигуры, ограниченной снизу полупрямой 
, сверху графиком функции и слева прямой 
, как предела площади криволинейной трапеции 
при 
.
Если предел существует и конечен, то интеграл сходящийся, если не существует или бесконечен, то расходящийся. Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами:
|
|
|
, (3)
, (4)
где 
– произвольная фиксированная точка. При этом говорят, что интеграл (6.5) сходится, если сходится каждый из двух несобственных интегралов в правой части этого равенства, и расходится, если хотя бы один из них расходится.
Если сходится интеграл 
, то интеграл 
– абсолютно сходящийся.
Для установления сходимости интеграла (6.2) можно использовать следующие признаки сравнения.
Теорема. Пусть всюду на полупрямой справедливо неравенство 
. Тогда: 1) если интеграл 
– сходится, то сходится и интеграл 
, причем 
; 2) если интеграл расходится, то будет расходиться и интеграл 
.
Пусть функция непрерывна во всех точках 
за исключением точки 
, где она терпит бесконечный разрыв. Тогда по определению
, где 
. (5)
Интеграл (6.6) называется несобственным интегралом от разрывной функции. Если оба предела, стоящие в правой части, существуют и конечны, то интеграл сходящийся, если хотя бы один из них не существует или бесконечен, то расходящийся. В случае, когда 
или 
(рис.3), в правой части равенства будет только один предел.
|
|
|
Теорема. Пусть всюду на отрезке функции 
, 
терпят бесконечный разрыв в точке 
и всюду, кроме , выполняется неравенство 
. Тогда: 1) если интеграл 
– сходится, то сходится и интеграл 
; 2) если интеграл 
расходится, то будет расходиться и интеграл .
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 165; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!