Примеры решения типовых задач
Пример 1. Вычислить интеграл 
.
Решение. Воспользуемся свойствами 3 и 4 и табличными интегралами (5), (2), (3), (9). Получим:
Пример 2. Вычислить интеграл 
.
Решение. Возведём в квадрат подынтегральную функцию, проведём тригонометрические преобразования, применим свойство 4 и табличные интегралы (2),(5)
Пример 3. Вычислить интеграл 
.
Решение. Применив тождественные преобразования, свойство 4 и табличные интегралы (2), (10), получим:
Пример 4. Вычислить интеграл 
.
Решение. Введём переменную 
, 
. Тогда 
Используем формулу (2.1)
.
При замене переменной в неопределённом интеграле иногда более удобно заменять не 
как функцию 
, а наоборот, задавать как функцию от .
Пример5. Вычислить интеграл 
.
Решение. Положим 
. Тогда 
. Используя формулу (2.1) и табличный интеграл (3), получим:
.
Пример 6. Вычислить интеграл 
.
Решение. Применим известное тригонометрическое тождество, далее положим 
. Тогда 
. Используя табличный интеграл (2), имеем:
Пример 7. Вычислить интеграл 
.
Решение. Положим 
. Тогда 
и по формуле интегрирования по частям получим:
, где 
.
Пример 8. Вычислить интеграл 
.
Решение. Положим 
Тогда 
и по формуле интегрирования по частям получим:
.
Пример 9. Вычислить интеграл 
.
Решение. Положим 
. Тогда 
и по формуле интегрирования по частям получим:
.
В некоторых случаях формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз.
|
|
|
Пример 10. Вычислить интеграл 
.
Решение. Положим 
. Тогда 
, по формуле интегрирования по частям имеем: 
. Далее, пусть 
. Тогда 
, ещё раз применив формулу интегрирования по частям, имеем: 
.
Задания для самостоятельной работы
7. 1. Вычислить интегралы с помощью непосредственного интегрирования:
а)  ;
| Б)  ;
|
в)  ;
| Г)  ;
|
д)  ;
| Е)  ;
|
ж)  ;
| З)  .
|
7.2. Вычислить интегралы с помощью метода замены переменной:
а)  ;
| б)  ;
|
в)  ;
| г)  ;
|
д)  ;
| е)  ;
|
ж)  ;
| з)  .
|
7.3. Вычислить интеграл методом интегрирования по частям:
а)  ;
| б)  ;
|
в)  ;
| г)  ;
|
д)  ;
| е)  ;
|
ж)  ;
| з)  .
|
7.4. Разные задачи.
а)  ;
| б)  ;
|
в)  ;
| г)  ;
|
д)  ;
| е)  ;
|
ж)  ;
| з)  .
|
Ответы
7.1. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
. 7.2. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
.7.3. а) 
; б) 
; в)e 
; г) 
; д) 
; е)xarcsin3x+3 
; ж) 
; з)- 
.7.4. a) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
; ж) 
; з)e 
.
Интегрирование рациональных функций
Краткие теоретические сведения
Рациональными функциями называются функции вида: 
, где 
– многочлены степени 
соответственно.
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. В противном случае называется неправильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно, деля числитель на знаменатель, представить в виде суммы многочлена, называемого целой частью дроби, и правильной рациональной дроби.
|
|
|
Например: 
.
Будем рассматривать правильные рациональные дроби с действительными коэффициентами многочленов в числителе и знаменателе. Среди них назовём простейшими дроби вида: 
, 
.
Теорема (о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей). Всякую рациональную правильную дробь со знаменателем представимым в виде произведения можно разложить в виде суммы простейших рациональных дробей вида 1 – 2. В этом разложении каждому корню 
кратности 
многочлена 
соответствует сумма k дробей вида 
, где 
– действительные числа, называемые неопределёнными коэффициентами.
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 192; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!