Интегрирование некоторых иррациональных функций
Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную в виде элементарной функции. Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определённых подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной.
I. Интеграл вида 
, где 
– постоянные, 
приводятся к интегралу от рациональной функции новой переменной 
с помощью подстановки 
, где 
наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей 
, т.е. 
.
II. Интегралы вида
тригонометрическими подстановками соответственно 
сводятся к уже рассмотренным интегралам вида 
.
К рассмотренным интегралам могут быть преобразованы интегралы 
, если из квадратного трёхчлена выделить полный квадрат суммы и сделать линейную замену переменной. Существуют и другие методы интегрирования указанного интеграла, мы их здесь не рассматриваем.
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Вычислить интеграл 
.
Решение: Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:
Пример 2. Вычислить интеграл 
.
Решение. Используем замену переменной 
. Тогда 
, 
. Получаем:
.
Пример 3. Вычислить интеграл 
.
Решение. Данная функция нечетна относительно 
. Используем замену переменной 
. Тогда 
и
Пример 4. Вычислить интеграл 
.
Решение. Применив формулу (1) и табличные интегралы, получим:
Пример 5. Вычислить интеграл 
.
Решение. Воспользуемся формулой 
. 
.
|
|
|
Пример 6. Вычислить интеграл 
.
Решение. Так как 
, то положим 
. Тогда 
и 
Пример 7. Вычислить интеграл 
.
Решение. Положим 
. Тогда 
и исходный интеграл преобразуется в интеграл вида 
. Интегрируя его, получим: 
.
Задания для самостоятельной работы
7.7. Вычислить интегралы от тригонометрических функций:
а)  ;
| б)  ;
|
в)  ;
| г)  ;
|
д)  ;
| е)  ;
|
ж)  ;
| з)  .
|
7.8. Вычислить интегралы от иррациональных функций:
а)  ;
| б)  ;
|
в)  ;
| г)  :
|
д)  ;
| е)  ;
|
ж)  ;
| з)  .
|
Ответы
7.7 . а) 
; б) 
; в) 
; 
г) 
ln (6+10 arctg 
)+ С; д)– 
ln 
+ 
; е) 
; ж) lntg 
; з)3x+4sin2x+С. 7.8. а) 
; б) 
; г)arcsin 
+С; д) 
+ С; е)–2 
–-3arcsin 
+С; ж) 
–arcsin 
+С; з) 
.
Понятие определённого интеграла, его геометрический смысл. Свойства определённого интеграла
Краткие теоретические сведения
Пусть функция 
определена на 
. Разобьём произвольным образом точками 
на 
частичных отрезков длиной 
. Выберем в каждой из них точку 
и найдем значения функции в каждой из этих точек 
– 
. Сумма вида
(1)
называется n-ой интегральной суммой функции 
на .
Геометрический смысл интегральной суммы (1) – сумма площадей прямоугольников с основаниями 
и высотами 
. Обозначим через 
длину наибольшего частичного отрезка данного разбиения 
(рис.1).
|
|
|
Определение. Если существует конечный предел 
суммы (5.1) при 
, то этот предел называется определённым интегралом от функции 
по отрезку 
и обозначается: 
.
,
– подынтегральная функция, 
– подынтегральное выражение, – отрезок интегрирования, 
и 
– нижний и верхний пределы интегрирования, 
– переменная интегрирования.
Теорема. Если функция 
непрерывна на , то она интегрируема на , т.е. предел интегральной суммы (1) существует и не зависит от способа разбиения на частичные отрезки 
и выбора на них точек 
.
Если 
, то геометрически определённый интеграл выражает площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью 
и прямыми 
. Эта фигура – криволинейная трапеция. В общем случае, когда функция на принимает значения разных знаков, определённый интеграл выражает разность площадей криволинейных трапеций, расположенных над осью и под ней, т.к. 
расположенной под осью 
, присваивается знак «–».
Далее будем рассматривать функцию непрерывную на . По определению полагают, что определённый интеграл от функции с равными верхним и нижним пределами интегрирования равен нулю
. (2)
|
|
|
1. При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный
. (3)
2. Каковы бы ни были числа 
имеет место равенство
. (4)
Определённый интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям (аддитивность по области интегрирования).
3. Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла, т.е.
. (5)
4. Определённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е.
. (6)
Свойства 3,4 называются свойствами линейности.
Далее будем считать, что 
.
5. Если всюду на 
, то 
.
6. Монотонность. Если всюду на 
, то 
.
7. Оценка модуля интеграла. Если функция непрерывна на , то
. (7)
Следствие.Если всюду на 
, то 
.
8. Если 
и 
– соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на , то
. (8)
9. Теорема о среднем. Если непрерывна на , то на этом отрезке существует точка 
, что
. (9)
10. Интеграл с переменным верхним пределом. Если функция 
непрерывна и 
, то имеет место равенство 
, т.е. производная определённого интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции при том же 
– первообразная для функции .
|
|
|
11. Формула Ньютона-Лейбница. Если 
– первообразная функции , непрерывной на , то
. (10)
Формула (10) даёт простой метод вычисления определённого интеграла: определённый интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой её первообразной, вычисленных для верхнего и нижнего пределов интегрирования. Таким образом, задача вычисления определённого интеграла сводится к задаче вычисления неопределённого интеграла, которая достаточно изучена. Здесь используются те же методы интегрирования.
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 288; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!