Тема. Рівняння з двома змінними
· Поняття про рівняння з двома змінними
· Рівносильні перетворення цілих рівнянь із двома змінними
· Графік рівняння з двома змінними
Виклад теорії
Поняття про рівняння з двома змінними
| Рівність із двома змінними, складену для знаходження усіх пар значень змінних, при яких вона перетворюється у правильну числову рівність, називають рівнянням із двома змінними. |
Змінні у рівнянні можуть входити в обидві його частини або лише в одну.
Рівняння з двома змінними, у яких обидві частини є цілими виразами, називають цілими рівняннями.
Приклади.
1. x2 + y2 = x3 + 1; x4 + 5xy + y4 = xy; (x + y)(x – y) = x2 + 1 — рівняння з двома змінними, у які змінні входять в обидві частини.
2. x4 + x2y – 3x = 0; x2 + y2 = 16; (x + y)(x – y) – x2 = 1 — рівняння з двома змінними, у яких ліва частина є многочленом, а права — числом.
3. 4a2 + 5b2 = ab; 5a + 4b = 7; a3 + b3 = 7a + b — рівняння з двома змінними a і b.
4. 5x2 + 4y2 = x2 + y; 5x + 4y = 7; xy = x; 
— цілі рівняння з двома змінними.
5. Рівняння 
; 
; 
не є цілими (одна з частин або обидві містять ділення на вираз зі змінною).
| Розв’язком рівняння з двома змінними називають впорядковану пару значень змінних, яка перетворює це рівняння у правильну числову рівність. |
Якщо за умови, що x = x0 та y = y0 рівняння із двома змінними x та y перетворюється у правильну числову рівність, то пара чисел x0 та y0 є розв’язком рівняння і його коротко записують так: (x0; y0). У розв’язку рівняння з двома змінними x та y на першому місці записують значення x, а на другому — значення y.
|
|
|
Приклад.
Рівняння 2x + y = 8, якщо x = 4 та y = 0, перетворюється у правильну числову рівність 2 · 4 + 0 = 8; 8 = 8. Отже, ці значення утворюють розв’язок рівняння — (4; 0). Якщо, наприклад, x = 0 та y = 4, то рівняння 2x + y = 8 не перетворюється у правильну числову рівність: 2 · 0 + 4 = 4; 4 ¹ 8. Отже, пара (0; 4) не є розв’язком даного рівняння.
Щоб встановити, чи є задана впорядкована пара чисел (x0; y0) розв’язком рівняння зі змінними x та y , потрібно:
· підставити у рівняння замість x його значення x0, а замість y — його значення y0;
· встановити числове значення лівої та правої частин рівняння.
Якщо значення лівої та правої частин рівні, то пара чисел (x0; y0) є розв’язком рівняння; якщо їхні значення не рівні, то пара чисел (x0; y0) не є розв’язком рівняння.
Розв’язати рівняння з двома змінними означає знайти всі його розв’язки або довести, що їх немає.
Існують рівняння з двома змінними, які:
· не мають розв’язків;
· мають один розв’язок;
· мають скінченне число розв’язків;
· мають безліч розв’язків, однак не будь-яка пара чисел є їхніми розв’язками;
· мають безліч розв’язків, причому будь-яка пара чисел є їхнім розв’язком.
|
|
|
Приклади.
1. Рівняння x2 + y2 + 2 = 0 не має розв’язків, оскільки при будь-яких значеннях x ліва частина рівняння є додатним числом, а права частина дорівнює нулю, тобто рівняння не може перетворитися у правильну числову рівність за жодного зі значень x та y.
2. Рівняння x2 + y2 = 0 має тільки один розв’язок — пару чисел (0; 0), оскільки при будь-яких інших значеннях x ліва частина рівняння є додатним числом.
3. Рівняння x – y = 0 має безліч розв’язків, оскільки за будь-яких рівних між собою значень x та y воно перетворюється у правильну числову рівність. Наприклад, розв’язками рівняння є пари чисел (2; 2), (2,5; 2,5),
(–11; –11).
4. Рівняння 0 · x + 0 · y = 0 перетворюється у правильну числову рівність за будь-яких значень x та y. Тому його можна розглядати як тотожність.
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 304; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!