Тема 10. Різниця та сума кубів двох виразів
· Формула різниці кубів
· Формула суми кубів
Виклад теорії
Формула різниці кубів
Тричлени a2 + b2 + ab і a2 + ab + b2 називають неповним квадратом двочлена a + b.
| Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і неповного квадрата їх суми: |
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2).
Приклади.
1. a3 – 53 = (a – 5)(a2 + 5a + 25) = (a – 5)(a2 + 5a + 25).
2. b3 – 8 = b3 – 23 = (b – 2)(b2 + 2b + 4).
3. 125c3 – 1 = (5c)3 – 13 = (5c – 1)((5c)2 + 5c · 1 + 12) = (5c – 1)(25c2 + 5c + 1).
4. a15 – 27 = (a5)3 – 33 = (a5 – 3)(a10 + 3a5 + 9).
Доведення
(a – b)(a2 + ab + b2) = a(a2 + ab + b2) – b(a2 + ab + b2) =
= a3 + a2b + ab2 – a2b – ab2 – b3 = a3 – b3.
Формула суми кубів
Тричлени a2 + b2 – ab і a2 – ab + b2 називають неповним квадратом двочлена a – b.
| Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів і неповного квадрата їх різниці: |
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2).
Приклади.
1. a3 + 23 = (a + 2)(a2 – 2a + 4).
2. c3 + 27 = c3 + 33 = (c + 3)(c2 – 3c + 9).
3. 8a3 + 1 = (2a)3 + 13 = (2a + 1)(4a2 – 2a + 1).
4. a21 + b6 = (a7)3 + (b2)3 = (a7 + b2)(a14 – a7b2 + b4).
Доведення
(a + b)(a2 – ab + b2) = a(a2 – ab + b2) + b(a2 – ab + b2) =
= a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 = a3 + b3.
Початкове вивчення теорії
Навчальні завдання
Формула різниці кубів
№199.
1. 1) Яка спільна назва у виразів: а3 – с3; а3 – 103; (4а)3 – b3; (а7)3 – (b2)3; (3а + 2)3 – (2a + 1)3?
2) Яка спільна назва у виразів: а2 + b2 + ab; а2 + c2 + ac; x2 + xy + y2; а2 + 25 + 5а?
а) Повний квадрат суми виразів a і b;
б) неповний квадрат суми виразів a і b;
в) неповний квадрат різниці виразів a і b.
3) Який з наведених многочленів а)–в) є неповним квадратом двочлена а + b ?
|
|
|
а) а2 + b2; б) а2 + b2 + 2ab; в) а2 + b2 + ab.
4) а3 – с3 = …:
а) (а – с)(а2 – 2aс + с2 ); б) (а – с)(а2 + aс + с2 );
в) (а – с)(а2 + 2aс + с2).
5) Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку …
а) суми цих виразів та неповного квадрата різниці;
б) різниці цих виразів і їх суми;
в) різниці цих виразів і неповного квадрата суми.
2. Який з наведених виразів а)–в) є розкладом на множники виразу:
1) а3 – 23 = …:
а) (а – 2)(а + 2); б) (а – 2)(а2 + 4a+ 4); в) (а – 2)(а2 + 2a + 4).
2) а3 – 125 = a3 – 53 = …:
а) (а – 5)(а + 5); б) (а – 5)(а2 – 5a+ 25); в) (а – 5)(а2 + 5a + 25).
3) x9 – 27 = (x3)3 – 33 = …:
а) (x3 – 3)(x6 + 6x3 + 9); б) (x3 – 3)(x6 + 3x3 + 9); в) (x3 – 3)(x6 – 6x3 + 9).
4) x3 – 8y3 = x3 – (2y)3 = …:
а) (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2); б) (x3 – 2y)(x6 + 2x3y + 4y2); в) (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2).
5) (а + b)3 – c3 = …:
а) (а + b – с)((а + b)2 + c(a + b) + c2);
б) (а + b – с)((а + b)2 + 2c(a + b) + c2);
в) (а + b – с)((а + b)2 – c(a + b) + c2).
3. Подати у вигляді різниці кубів вираз:
1) а3 – 8. 2) b3 – 0,027.
3) 64а3 – c3. 4) а6 – 27.
5) 8а3 – b9.
Розкласти на множники, використавши формулу різниці кубів двох виразів:
6) x3 – 43. 7) z3 – 27.
|
|
|
8) a3 – 125b3. 9) x15 – 1.
10) (ab)3 – 8.
Формула суми кубів
№200.
1. 1) Яка спільна назва у виразів: а3 + с3; а3 + 53; (2а)3+ 53; (а4)3 + 103; (2а + 1)3 + b3?
2) Яка спільна назва у виразів: а2 + b2 – ab; а2 + c2 – ac; x2 – xy + y2; а2 + 25 – 5а?
а) Повний квадрат різниці виразів a і b;
б) неповний квадрат суми виразів a і b;
в) неповний квадрат різниці виразів a і b.
3) а3 + с3 = …:
а) (а + с)(а2 – 2aс+ с2); б) (а + с) (а2 – aс+ с2);
в) (а – с)(а2 + 2aс+ с2).
4) Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів та …
а) неповного квадрата їх суми;
б) неповного квадрата їх різниці;
в) повного квадрата їх різниці.
2. Який з наведених виразів а)–в) є розкладом на множники виразу:
1) а3 + 53 = …:
а) (а +5)(а – 5); б) (а +5)(а2 – 10a + 25); в) (а +5)(а2 – 5a + 25).
2) 1 + x3 = …:
а) (1 + x)(1 + x + x2); б) (1 + x)(1 – 2x + x2); в) (1 + x)(1 – x + x2).
3) a15 + c3 = …:
а) (a5 + c)(a10 + a5c + c2); б) (a5 + c)(a10 – 2a5c + c2); в) (a5 + c)(a10 – a5c + c2).
4) x9 + 8y3 = (x3)3 + (2y)3 = …:
а)(x3 + 2y)(x6 + 2x3y + 4y2); б) (x3 + 2y)(x6 – 2x3y + 4y2); в)(x3 + 2y)(x6 – 4x3y + 4y2).
5) (а + b)3 + c3 = …:
а) (а + b + с) ((а + b)2 + c(a + b) + c2);
б) (а + b + с) ((а + b)2 – 2c(a + b) + c2);
в) (а + b + с) ((а + b)2 – c(a + b) + c2).
3. Подати у вигляді суми кубів вираз:
|
|
|
1) а3 + 27. 2) a3 + 0,008.
3) 8а3 + b3. 4) а12 + 1000.
5) 27а3 + b15.
Розкласти на множники, використавши формулу суми кубів двох виразів:
6) x3 + 43. 7) 27 + m3.
8) 125x3 + y3. 9) m15 + 1.
10) (xy)3 + 8.
Тренувальні вправи
№201.
1. Подати вираз у вигляді суми кубів:
1) a3 + 8; 2) x3 + 0,027; 3) a3 + 64b3; 4) a6 + 27.
2. Подати вираз у вигляді різниці кубів:
1) 27 – a3; 2) 0,008 – a3; 3) c3 – 8a3; 4) 1000 – a15.
Розкласти вираз на множники:
3. 1) a3 + 103; 2) b3 + 1000; 3) 8b3 + 1; 4) b15 + 8.
4. 1) m3 – 103; 2) 1000 – m3; 3) 1 – 125c3; 4) 8 – y21.
Завдання для самоперевірки
№202. Варіант 1
1. 1) Серед виразів а)–в) вказати неповний квадрат двочлена x + y.
а) x2 + y2; б) x2 + y2 – xy; в) x2 + y2 + xy.
Назвати розклад двочлена:
2) x3 – m3 = …:
а) (x – m)(x2 + 2mx + m2);
б) (x + m)(x2 – mx + m2);
в) (x – m)(x2 + mx + m2).
3) m3 + n3 = …:
а) (m + n)(m2 + 2mn + n2);
б) (m + n)(m2 – mn + n2);
в) (m – n)(m2 + mn + n2).
2. Вказати правильну відповідь:
1) z3 – 1 = …:
а) (z – 1)(z2 + 1); б) (z + 1)(z2 + z + 1); в) (z – 1)(z2 + z + 1).
|
|
|
2) 125 + p3 = …:
а) (5 + p)(25 + p2); б) (5 + p)(25 + p2 – 5p); в) (5 + p)(25 + p2 + 5p).
3) 27c3 – 1 = …:
а) (3c – 1)(9c2 + 6c + 1); б) (3c – 1)(9c2 + 1); в) (3c – 1)(9c2 + 1 – 3c).
3. 1) Подати у вигляді суми кубів вираз a21 + 1.
Розкласти на множники (2–3):
2) y3 – 64. 3) x15 + 1.
№203. Варіант 2
1. 1) Серед виразів а)–в) вказати неповний квадрат двочлена m – p.
а) m2 – p2; б) m2 – mp + p2; в) m2 + mp + y2.
Назвати розклад двочлена:
2) c3 – d3 = …:
а) (c – d)(c2 + 2cd + d2);
б) (c + d)(c2 – cd + d2);
в) (c – d)(c2 + cd + d2).
3) m3 + p3 = …:
а) (m + p)(m2 + 2mp + p2);
б) (m + p)(m2 – mp + p2);
в) (m – p)(m2 + mp + p2).
2. Вказати правильну відповідь:
1) p3 + 1 = …:
а) (p + 1)(p2 + p + 1); б) (p + 1)(p2 – p + 1); в) (p + 1)(p + 1).
2) 64 – y3 = …:
а) (4 – y)(16 + y2); б) (4 – y)(16 + y2 + 4y); в) (4 – y)(16 + y2 + 8y).
3) 1000a3 + 1 = …:
а) (100a + 1)(10000a2 – 100a + 1);
б) (10a + 1)(100a2 – 20a + 1);
в) (10a + 1)(100a2 + 1 – 10a).
3. 1) Подати у вигляді різниці кубів вираз a30 – 1.
Розкласти на множники:
2) 125 + p3. 3) m9 – 1.
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 332; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!