Розкладання на множники різниці квадратів двох виразів

Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і їх суми:

a² – b² = (a – b)(a + b).

Приклади.

1. a² – 5² = (a – 5)(a + 5).

2. a² – 49 = (a – 7)(a + 7).

3. 4a² – 25c² = (2a)² – (5c)² = (2a – 5c)(2a + 5c).

4. (a + b)² – (c + d)² = ((a + b) – (c + d))((a + b) + (c + d)) =
= (a + b – c – d)(a + b + c + d).

Розкладання на множники повного квадрата двочлена

Сума квадратів двох виразів плюс подвоєний добуток цих виразів дорівнює квадрату суми цих виразів:

a² + 2ab + b² = (a + b)²
або
a² + b² + 2ab = (a + b)².

Приклади.

1. m² + 2mn + n² = (m + n)².

2. b² + 64 + 16b = b² + 8² + 2 · b · 8 = (b + 8)².

3. 4x² + 12x + 9 = (2x)² + 3² + 2 · 2x · 3 = (2x + 3)².

Сума квадратів двох виразів мінус подвоєний добуток цих виразів дорівнює квадрату різниці цих виразів:

a² – 2ab + b² = (a – b)²
або
a² + b² – 2ab = (a – b)².

Приклади.

1. a² – 2ac + c² = (a – c)².

2. n² – 4n + 4 = n² – 2 · n · 2 + 2² = (n – 2)².

3. 25c² + 1 – 10c = (5c)² + 1² – 2 · 5c · 1 = (5c – 1)².

Початкове вивчення теорії

Навчальні завдання

Розкладання на множники різниці квадратів двох виразів

№181.

1.  1) Як називають вирази a² – с²; a² – 7²; (a + b)² – c²; (m + n)² – (p + k)²?

a) Сумою квадратів виразів;
б) квадратом різниці виразів;
в) різницею квадратів виразів.

     2) Серед виразів а)–е) вказати три, які є різницею квадратів двох виразів:

а) a² + b²;                     б) a² – m²;                     в) (m + n)² – (c + d)²;

г) (x – y)²;                     д) a² – ab;                     е) (a⁴)² – 5².

     Записати різницю квадратів виразів:

     3) a і c;                   4) a і b + c;        5) a + b і c + d.

2.  Подати двочлен у вигляді різниці квадратів:

     1) a² – 9:

а) (a – 3)²;                    б) a² – 3²;                      в) a – 3².

     2) 25a² – 36:

а) 25a² – 6²;                 б) (5a)² – 6²;                 в) 25a² – 36².

     3) a¹⁰ – а⁶:

а) (a⁸)² – (a⁴)²;             б) (a⁵)² – (a³)²;              в) (a²)⁵ – (a²)³.

3.  Записати у вигляді різниці квадратів двочлен:

     1) 16a² – b²;                                           2) 9a² – 49²;

     3) a⁸ – b²;                                               4) a¹⁰ – с⁴;

     5) a⁶b¹⁰ – c⁴.

№182.

1.  1) Чому дорівнює добуток (a – b)(a + b)?

а) a² + b²;                     б) a² – b²;                      в) a² – b² + 2ab.

     2) Чому дорівнює a² – b²?

а) (a – b)(a – b);          б) (a + b)(a + b);          в) (a – b)(a + b).

     3) Чому дорівнює a² – т²?

а) (a – т)(a – т);        б) (a – т)(a + т);         в) (a + т)(a + т).

     4) Чому дорівнює різниця квадратів двох виразів?

а) Добутку різниці цих виразів і їх суми;
б) квадрату різниці цих виразів;
в) квадрату суми цих виразів.

2.  Серед виразів а)–в) вказати вираз, який є розкладом на множники двочлена:

     1) a² – k² = …:

а) (a – k)²;                    б) (a – k)(a + k);           в) (a + k)².

     2) a² – 14² = …:

а) (a² – 14)(a² + 14);  б) (a + 14)²;                  в) (a – 14)(a + 14).

     3) a² – 25 = …:

а) (a – 25)(a + 25);     б) (a – 5)²;                    в) (a – 5)(a + 5).

     4) 4a² – 36 = …:

а) (4a – 6)(4a + 6);     б) (2a – 6)(2a + 6);     в) (2a – 6)².

     5) 9a² – 16с² = …:

а) (3a – 4с)(3a + 4с); б) (3a – 4с)²;                в) (9a – 16с)(9a + 16с).

     6) (a + с)² – d²= …:

a) (a – с – d)²;              б) (a + с – d)(a + с + d); в) (a + с)× d.

     7) а²– (b + с)²= …:

a) (а– b – с)(а + b + с); б) (а + b + с)²;             в) (а– (b + с))².

     8) a¹⁶ – b² = …:

a) (a⁸ – b)(a⁸ + b);       б) (a⁸ – b)²;                   в) (a⁸ – b)².

3.  Розкласти на множники вирази:

     1) а² – 25.              2) 100 – с².       3) .      4) .

12* А. Капіносов. Алгебра. 7 кл. Сист. курс

     5) 4а² – 25.            6) 4a² – 9с².      7) (a + b)² – m². 8) a²⁰ – b².

№183.

     Серед добутків чисел а)–в) вказати добуток, якому дорівнює різниця квадратів чисел:

     1) 225² – 25² = …:

а) 200²;                         б) 200 × 250;                в) 250².

     2) 10,6² – 0,6² = …:

а) 10 × 11,2;                 б) 10²;                            в) 11,2².

     Серед рівнянь а)–в) вказати пару рівнянь, яким рівносильне рівняння:

     3) х² – 49 = 0:

а) х – 49 = 0 і х + 49 = 0;                б) х – 7 = 0 і х + 7 = 0;

в) х – 98 = 0 і х + 98 = 0.

     4) х² – 100 = 0:

а) х – 100 = 0 і х + 100 = 0;           б) х – 200 = 0 і х + 200 = 0;

в) х – 10 = 0 і х + 10 = 0.

     Записати два рівняння, яким рівносильне рівняння:

     5) x² – 64 = 0.                                        6) x² – 121 = 0.

№184.

     Вказати правильний розклад на множники двочлена:

     1) a²ⁿ – b²ⁿ = (aⁿ)² – (bⁿ)² = …:

а) (aⁿ – bⁿ)(aⁿ – bⁿ);    б) (aⁿ – bⁿ)(aⁿ + bⁿ);     в) (aⁿ + bⁿ)(aⁿ + bⁿ).

     2) a²ⁿ – 16 = …:

а) (aⁿ – 4)(aⁿ + 4);       б) (aⁿ – 16)(aⁿ + 16);   в) (aⁿ – 2)(aⁿ + 2).

     3) a⁴ⁿ – 1 = …:

а) (aⁿ – 1)(aⁿ + 1);       б) (a³ⁿ – 1)(a³ⁿ + 1);     в) (a²ⁿ – 1)(a²ⁿ + 1).

     4) c⁸ⁿ – 25 = …:

а) (c⁴ⁿ – 25)(c⁴ⁿ + 25); б) (c²ⁿ – 5)(c²ⁿ + 5);     в) (c⁴ⁿ – 5)(c⁴ⁿ + 5).

     5) a^2m – b²ⁿ = …:

а) (a^m – bⁿ)(a^2m + bⁿ);  б) (a^m – bⁿ)(a^m + bⁿ);   в) (a^m + bⁿ)(a^m + bⁿ).

     Розкласти на множники:

     6) c^2k – b^2k.                                             7) a²ⁿ – 49.

     8) c⁴ⁿ – 9.                                                9) x¹⁶ⁿ – 1.

     10) a^2m – c^2k.

Тренувальні вправи

№185.

     Розкласти на множники:

1.  1) a² – x²;                  2) b² – 4²;          3) m² – p²;          4) n² – d².

2.  1) x² – 36;                 2) n² – 100;       3) y² – 100;       4) z² – 144.

3.  1) 9a² – 36;              2) 16n² – 100;  3) 25y² – 64;     4) 9z² – 144.

4.  1) 9a² – 36b²;           2) 16n² – 100b²; 3) 25y² – 64z²;  4) 9z² – 144k².

5.  1) a⁶ – b²;                  2) n⁶ – k²;          3) y⁶ – z²;           4) z¹⁰ – k².

Завдання для самоперевірки

№186. Варіант 1

1.  1) Серед виразів а)–в) вказати той, який є різницею виразів m і n:

а) m – n;                       б) (m – n)²;                    в) m² – n².

     2) Чому дорівнює a² – c²?

а) a – c;                        б) (a – c)(a + c);           в) ac.

     3) Вказати вираз, який дорівнює 49n² – 36.

а) (7n)² – 6;                  б) (7n)² – 6²;                 в) 7n² – 6².

2.  Вказати правильну відповідь (1–3):

     1) z² – 25 = …:

а) (z – 25)(z + 25);      б) (z – 5)(z – 5);           в) (z – 5)(z + 5).

     2) 4z² – 1 = …:

а) (2z – 1)(2z – 1);      б) (2z – 1)(2z + 1);       в) (4z – 1)(4z + 1).

     3) 25y² – 16z² = …:

а) (25y – 16z)(25y + 16z);                                     б) (5y – 4z)(5y + 4z); в) (5y – 2z)(5y + 2z).

3.  Розкласти на множники:

     1) n² – 9.                2) 1 – 25y².       3) 36z² – 49y².

№187. Варіант 2

1.  1) Серед виразів а)–в) вказати той, який є різницею виразів p і x:

а) p – x;                        б) (p – x)²;                     в) p² – x².

     2) Чому дорівнює x² – z²?

а) x – z;                         б) (x – z)(x + z);            в) xz.

     3) Вказати вираз, який дорівнює 25p² – 9.

а) (5p)² – 3;                  б) 5p² – 3²;                   в) (5p)² – 3².

2.  Вказати правильну відповідь:

     1) y² – 100 = …:

а) (y – 100)(y + 100); б) (y – 10)(y + 10);      в) (y – 10)(y – 10).

     2) 9n² – 1 = …:

а) (9n – 1)(9n + 1);     б) (3n – 1)(1 – 3n);     в) (3n – 1)(3n + 1).

     3) 49p² – 25q² = …:

а) (49p – 25q)(49p + 25q); б) (7p – 5q)(7p – 5q); в) (7p – 5q)(7p + 5q).

3.  Розкласти на множники:

     1) p² – 64.              2) 4 – 9a².         3) 64z² – 25y².

---

Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 380; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!