Тема 11. ЛінійнЕ рівняння з двома змінними
· Поняття про лінійне рівняння з двома змінними та його розв’язування
· Графік лінійного рівняння з двома змінними
Виклад теорії
Лінійне рівняння з двома змінними та його розв’язування
| Лінійним рівнянням з двома змінними називають рівняння виду ax + by = c, де x та y — змінні, a, b і c — числа. a і b називають коефіцієнтами біля змінних, с — вільним членом. |
Зауваження. У літературі лінійними рівняннями часто називають і рівняння виду ax + by + c = 0.
Приклади.
1. 5x + 3y = 4, 2x – 7y = 0, 0x + 5y = 12, 0x + 0y = 5 — лінійні рівняння зі змінними x та y.
2. 5y + 3z = 8, 6y – 2z = 0, 0y – 3z = 7 — лінійні рівняння зі змінними y та z.
3. 5a + 3b = 4, 2a – 7b = 0, 0a + 5b = 13 — лінійні рівняння зі змінними a та b.
Для позначення змінних у лінійних рівняннях із двома змінними найчастіше вживають змінні x та y.
Лівою частиною лінійного рівняння ax + by = c є многочлен ax + by із двома змінними x та y, а права частина — число c. Якщо у многочлені ax + by хоча б один з коефіцієнтів не дорівнює 0, то він є многочленом першого степеня, відповідно рівняння ax + by = c називають рівнянням першого степеня.
Рівняння з двома змінними виду ax + by = c називають рівнянням першого степеня з двома змінними, якщо у ньому хоча б один з коефіцієнтів не дорівнює 0.
Приклади.
1. 2x + 3y = 4, 2x – 3y = 7, 0,1x – 4y = 0 — лінійні рівняння першого степеня, у яких обидва коефіцієнти біля змінних не дорівнюють 0.
2. 0x + 4y = 17, 2x + 0y = 7, 0,1x + 0y = 0 — лінійні рівняння першого степеня, у яких один з коефіцієнтів біля змінних дорівнює 0.
|
|
|
3. 0x + 0y = 0, 0x + 0y = 1, 0x + 0y = –2 — лінійні рівняння, які не є рівняннями першого степеня.
| Розв’язком лінійного рівняння виду 0x + 0y = 0 є будь-яка пара чисел. |
Оскільки за будь-яких значень x та y многочлен 0x + 0y дорівнює 0, то лінійне рівняння 0x + 0y = 0 можна розглядати і як тотожність.
Лінійне рівняння виду 0x + 0y = c, де c — число, відмінне від нуля, розв’язків не має, оскільки ліва частина дорівнює нулю, а права — відмінна від нуля.
Приклад.
Рівняння 0x + 0y = 7, 0x + 0y = –7, 0x + 0y = 0,1 не мають розв’язків.
| Розв’язування рівнянь виду ax + 0y = c зводиться до знаходження розв’язку лінійного рівняння ax = c, оскільки 0y = 0. |
Приклади.
1. Розв’язками рівняння x + 0y = 10 є пари чисел, у яких x = 10, а y — довільне число, тобто (10; y0), де y0 — будь-яке дійсне число. Наприклад, пари чисел (10; 0), (10; 1), (10; –4,7), ... є розв’язками даного рівняння.
2. У рівнянні 2x + 0y = –18 для будь-якого значення y значення x є розв’язком рівняння 2x = –18, тобто x = –9. Записати всі розв’язки можна так:
(–9; y0), де y0 — будь-яке дійсне число.
Розв’язком рівняння виду ax + 0y = c, де a ¹ 0, є будь-яка пара чисел, у якій значення змінної x дорівнює 
, а значення y — будь-яке число.
|
|
|
Розв’язком рівняння виду 0x + by = c, де b ¹ 0, є будь-яка пара чисел, у якій значенням x є будь-яке число, а значення y дорівнює  .
|
Приклад.
Розв’язком рівняння 0x + 2y = 20 є будь-яка пара чисел, у якій x — будь-яке число, а y є розв’язком рівняння 2y = 20; y = 10, тобто (x0 ; 10), де x0 — будь-яке дійсне число. Наприклад, розв’язками рівняння є пари чисел (0; 10), (1; 10), (–7; 10), (–1,44; 10).
| Щоб знайти для деякого значення x0 відповідне йому значення y0 таке, щоб пара ( x 0 ; y 0) була розв’язком лінійного рівняння ax + by = c, потрібно: |
· підставити у дане рівняння замість x число x0: ax0 + by = c;
· розв’язати відповідне лінійне рівняння зі змінною y; корінь цього рівняння y0 і буде шуканим значенням y.
Приклад.
Дано лінійне рівняння 2x + 5y = 15. Знайти розв’язок рівняння зі значенням x = 10.
Розв’язання
Якщо x = 10, то 2 · 10 + 5y = 15; 5y = 15 – 20; 5y = –5; y = –1. (10; –1) — розв’язок рівняння.
Щоб знайти для деякого значення y0 відповідне йому значення x0 таке, щоб пара ( x0; y0) була розв’язком лінійного рівняння ax + by = c, потрібно:
· підставити у дане рівняння замість y число y0: ax + by0 = c;
· розв’язати відповідне лінійне рівняння зі змінною x; корінь цього рівняння x0 і буде шуканим значенням x.
|
|
|
Приклад.
Дано лінійне рівняння 2x + 5y = 15. Знайти розв’язок рівняння зі значенням y = 4.
Розв’язання
Якщо y = 4, то 2x + 5 · 4 = 15; 2x = 15 – 20; 2x = –5; x = –2,5. (–2,5; 4) — розв’язок рівняння.
| Щоб знайти для даного значення змінної x відповідне йому значення y таке, щоб пара ( x; y) була розв’язком лінійного рівняння ax + by = c, потрібно: |
· підставити в одержану формулу задане значення змінної x;
· виразити з рівняння змінну y, виконавши рівносильні перетворення;
· обчислити значення змінної y за формулою.
Нехай у рівнянні ax + by = c a ¹ 0 і b ¹ 0. Якщо x = x0, то ax0 + by = c. Тоді за правилом рівносильних перетворень by = –ax0 + c; 
.
Приклади.
1. Виразити з рівняння 2x + y = 5 змінну y через змінну x і знайти розв’язки рівняння, якщо x = 0; x = 5; x = –3; x = a.
Розв’язання
Якщо 2x + y = 5, то y = –2x + 5 (правило перенесення доданків).
а) Якщо x = 0, то y = –2 · 0 + 5 = 0 + 5 = 5. (0; 5) — розв’язок рівняння.
б) Якщо x = 5, то y = –2 · 5 + 5 = –10 + 5 = –5. (5; –5) — розв’язок рівняння.
в) Якщо x = –3, то y = –2 · (–3) + 5 = 6 + 5 = 11. (–3; 11) — розв’язок рівняння.
г) Якщо x = a, то y = –2a + 5. (a; –2a + 5) — розв’язок рівняння.
2. Виразити з рівняння x + 2y = 4 змінну y через змінну x і знайти розв’язки рівняння, якщо x = 6; x = –20; x = b.
Розв’язання
Якщо x + 2y = 4, то 2y = –x + 4 (правило перенесення доданків); 
(правило ділення).
|
|
|
а) Якщо x = 6, то y = 
+ 2 = –3 + 2 = –1. (6; –1) — розв’язок рівняння.
б) Якщо x = –20, то y = 
+ 2 = 10 + 2 = 12. (–20; 12) — розв’язок рівняння.
в) Якщо x = b, то 
. 
— розв’язок рівняння.
| Щоб знайти для даного значення змінної y відповідне йому значення змінної x таке, щоб пара ( x; y) була розв’язком лінійного рівняння ax + by = c, потрібно: |
· підставити в одержану формулу задане значення змінної y;
· виразити з рівняння змінну x через змінну y, виконавши рівносильні перетворення;
· обчислити значення змінної x за формулою.
Нехай у рівнянні ax + by = c a ¹ 0 і c ¹ 0. Якщо y = y0, то ax + by0 = c. Тоді за правилом рівносильних перетворень ax = –by0 + c; 
.
Приклади.
1. Виразити з рівняння x – y = 2 змінну x через змінну y і знайти розв’язки рівняння, якщо y = 7; y = –3; y = a.
Розв’язання
Якщо x – y = 2, то x = y + 2 (правило перенесення доданків).
а) Якщо y = 7, то x = 7 + 2 = 9. (9; 7) — розв’язок рівняння.
б) Якщо y = –3, то x = –3 + 2 = –1. (–1; –3) — розв’язок рівняння.
в) Якщо y = a, то x = a + 2. (a + 2; a) — розв’язок рівняння.
2. Виразити з рівняння 3x + 2y = 9 змінну x через змінну y і знайти розв’язки рівняння, якщо y = 6; y = –9.
Розв’язання
Якщо 3x + 2y = 9, то 3x = –2y + 9 (правило перенесення доданків); 
(правило ділення).
а) Якщо y = 6, то x = 
= –2 · 2 + 3 = –4 + 3 = –1. (–1; 6) — розв’язок рівняння.
б) Якщо y = –9, то x = 
= –2 · (–3) + 3 = 6 + 3 = 9. (9; –9) — розв’язок рівняння.
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 731; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!