I. Проверка домашнего задания.

Выполнить устно:

		1. ВС = 70°. Найти углы АВО.
	2. KМ – биссектриса угла АKВ. Доказать: ОМ биссектриса угла АОВ.

II. Объяснение нового материала.

1. Ввести понятие о вписанном угле. На закрепление этого понятия рассмотреть задание:

1) какие углы являются вписанными на рисунках?

2) На какую дугу опирается вписанный угол?

2. Разобрать только первый случай возможного расположения центра окружности относительно сторон угла.

3. Обсудить доказательство двух других случаев и оставить на самостоятельное рассмотрение.

4. Обсудить идею, на которой основано доказательство двух следствий из теоремы, и предложить учащимся самостоятельно провести его.

III. Закрепление изученного материала.

Выполнить №№ 653 (устно), 654 (устно), 655, 656, 658, 659 (устно), 661.

№ 656.Решение

По теореме о величине вписанного угла

ВАС =

ВС. Рассмотрим два возможных случая расположения точки С на окружности: 1) точка С

АВ; 2) точка С АВ.

В первом случае обозначим точку С через С₁, во втором через С₂.

1) ВС₁ = 360° – АС – АВ = 360° – 43° – 115° = 202°, ВАС₁ =
= ∙ 202 = 101°,

2) ВС₂= АВ – АС₂ = 115° – 43° = 72°, ВАС₂ = ∙ 72 = 36°.

Ответ: 101°, 36°.

№ 658.Решение

ВОD = ВD,

АОD = 180°.

АОВ = АОD – ВОD = = 180° – 110°20′.

АОВ = 69°40′. 2)

АОВ – прямоугольный,

ОВА = 90°.

АОВ + ВАО = 90°.

Тогда ВАD = ВАО = 90° – АОВ = 90° – 69°40′.

ВАD = 20°20′.

3) ВОD – равнобедренный с основанием ВD, так как ВО = ОD, тогда ОВD = ОDВ как углы при основании.

4) ОDВ = = 34°50′.

5) АDВ = ОDВ = 34°50′.

№ 661.Решение

1) По теореме о величине вписанного угла

АСD = AD.

ВАС = BC. 2)

АОС:

АОС +

ОАС + АСО = 180°

ОАС = 180° – ВАС.

3) АОD = АОС = 180° – ОАС – АСО = 180° – (180° –
– ВАС) – АСD = ВАС – АСD = ( BC – AD) = (140° –
– 52°) = 44°.

IV. Итоги урока.

Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла

АСВ = α АDВ = β

1 = 2 = 3 = 4 АВ – диаметр,

АСВ – прямой.

Домашнее задание: вопросы 11, 12, 13, с. 187; №№ 657, 660, 663; повторить I признак подобия треугольников.

Для желающих: №№ 662, 664.

Урок 53
Теорема об отрезках пересекающихся хорд

Цели: рассмотреть теорему об отрезках пересекающихся хорд и применение изученного материала при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. найти градусную меру угла АВС (устно):

2. Рассмотреть решение задачи № 664.

II. Изучение нового материала.

1. Докажите, что

АМС

DМВ.

2. Доказать теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд.

III. Закрепление изученного материала.

Решить №№ 666 (а; б), 668, 670, 671 (а), 673.

№ 668.

Решение

АСВ – вписанный и опирается на полуокружность, следовательно,

АСВ = 90°. 2) СD = .

№ 670.

Решение

АВР =

АQВ, так как

АВР =

ВР (задача № 664) и

АQВ = BP. 2)

АВР

АQB по двум углам (угол А – общий и

АВР =

АQB).

3) , AB² = AP · AQ.

№ 671 (а). Для решения использовать задачу № 670.

№ 672.

Решение

1. Проведем касательную к окружности через точку А. Имеем АВ – касательная к окружности. 2. АС₁ и АВ – секущая и касательная, значит, АВ² = АВ₁· АС₁ 3. АС₂ и АВ – секущая и касательная, поэтому АВ² = АВ₂ · АС₂. 4. АВ₁ · АС₁ = АВ₂ · АС₂.

IV. Итоги урока.

	1) АD и СВ – хорды; АЕ · ЕD = СЕ · ЕD.
	2) АС – касательная; АВ – хорда; САВ = АВ.
	3) АВ – касательная; AQ – секущая; АВ² = АР · AQ.
	4) АС₁и АС₂ – секущие; АВ₁ · AС₁ = АВ₂ · АС₂.

Домашнее задание: вопросы 1–14, с. 187; №№ 666 (б), 667, 671; подготовиться к самостоятельной работе.

Для желающих: № 718 (решение в учебном пособии, с. 188–189) и задача.

Задача.

Через конец В диаметра АВ проведена секущая, которая пересекается в точке D с касательной, проведенной через другой конец диаметра А; радиус окружности равен 3 см. Найти длину отрезка касательной АD, если известно, что секущая ВD в точке пересечения с окружностью делится пополам.