III. Закрепление изученного материала.

Выполнить №№ 701 (для остроугольного треугольника), 689, 691.

№ 689.

Решение

1) Центр О вписанной окружности искомого радиуса r лежит на биссектрисе СМ треугольника АВС, а так как СМ АВ, то вписанная окружность касается отрезка АВ в точке М. Поэтому ОМ = r.

I способ.

1. АМ = AB = 5 см.

2. M и N – точки касания, следовательно, AN = АМ = 5 см, откуда CN = АС – АN = 8 cм.

3. В АСМ : СМ = = 12 (см).

4. В СON : СО² = СN² + ON², то есть

(12 – r)² = 8² + r²

144 – 24r + r² = 64 + r².

r = 3 .

ОМ = ON = 3 см.

II способ.

1. В АСМ : АМ = AB = 5см.

СМ = = 12 (см).

2. Отрезок АО – биссектриса треугольника АМС (так как о – центр вписанной окружности), поэтому или ; 13r = 60 – 5r, r = 3 .

ОМ = ОN = 3 см.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 21, 22, с. 188; №№ 701 (для прямоугольного и тупоугольного треугольников), 637, 690, 693 (а), 693 (б) – по желанию и используя № 697 III способ решения № 698.

№ 690.

Решение

1) О – центр вписанной окружности в треугольник АВС, который лежит на высоте (биссектрисе) равнобедренного треугольника, проведенной к основанию. 2) ОМ = ОD – радиусы этой окружности. 3) Пусть k – коэффициент пропорциональности, тогда ОВ = 12k см, ОD = ОМ = 5k см.

4) Прямоугольные треугольники ВDС и ВМО имеют общий угол В, и, значит, ВDС ВМО по первому признаку.

5) .

6) Из прямоугольного треугольника ВDС по теореме Пифагора имеем:DС = .

7) ; 5 = ;

625 = 3600 – 289k²

k²= .

8) DC = = 25 (cм).

№ 693 (а).

Решение

1) АС || ОN, так как АС

СВ и ON

CВ. СВ || ОK, так как СВ

АС и OK

АС, значит, четырехугольник KONC – прямоугольник, а так как KО = CN = r = ON = KC, то KONC – квадрат. 2)

АKО =

АМО (по катету и гипотенузе), поэтому АK = АМ. 3)

ВNO =

ВМО (по катету и гипотенузе).

4) Р_АВС= АВ + ВС + АС = АМ + МВ + NB + CN + KC + АK.

Р_АВС= 2АМ + 2MВ + 2CN = 2(АМ + МВ + СN).

а) Р_АВС= 2(АВ + СN) = 2(26 + 4) = 60 (см).

б) Из АВС, С = 90° имеем по теореме Пифагора:

АС² = АВ² – СВ² = АВ² – (CN + NB) = 17² – (5 + r)²

ВС² = АВ² – АС² = АВ² – (АK + KС) = 17² – (12 + r)²

АВ² = АС² + ВС²

17² = 17² – (5 + r)² + 17² – (12 + r)²

2r² + 34r – 120 = 0

r² + 17r – 60 = 0

r = 3 (второй корень не удовлетворяет условию задачи).

Р_АВС = 2(АВ + CN) = 2(17 + 3) = 40 (см).

Урок 59
ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ. Свойство описанного четырехугольника

Цели: доказать свойство описанного четырехугольника и научить применять его при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. № 690 и № 693 (а) вынести решение на доску.

2. Решить устно.

	1) Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, если сторона треугольника 2 .
		2) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 10 см, 10 см, 12 см. Решение ВМ = = 8 ОМ = r, ВО = 8 – r

АВМ ОВK (угол В – общий).

; r = 3.

3) Найти периметр треугольника АВС.

4) АВСD – равнобедренная трапеция.

Найти: DС и АВ.

II. Изучение нового материала.

1. Рассмотреть свойство описанного четырехугольника.

2. Решение задачи № 697.

Пусть окружность радиуса r с центром О вписана в многоугольник А₁А₂ … А_n и пусть В₁, В₂, .., В_n – точки касания. Тогда ОВ₁ = ОВ₂ = … = ОВ_n = r и ОВ₁

А₁А₂, ОВ₂

А₂А₃, .., ОВ_n

А₁А_n.

рr,

где р – полупериметр многоугольника.

S = pr

III. Закрепление изученного материала.

Выполнить № 695 (устно), № 698.

IV. Самостоятельная работа обучающего характера.

Вариант I

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, радиус вписанной в этот треугольник окружности 2 см. Найдите периметр треугольника и его площадь.

Вариант II

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 см, а сумма катетов равна 17 см. Найдите периметр треугольника и его площадь.

Вариант I

Используя решение задачи № 693, имеем Р_АВС = 2 (АС + r) = 2(10 + 2) = 24 (см). S_АВС = р · r = 12 · 2 = 24 (cм²).

Вариант II

Используя решение задачи № 693, имеем

АВ + ВС = AN + NB + MB + CM = А K + r + r + K С

АВ + ВС = АС + 2r; АС = АВ + ВС – 2r

Р_АВС = 2 (АС + r) = 2 (АВ + ВС – 2r + r)

Р_АВС = 2(17–2) = 30 (cм)

S_АВС = р · r = 15 · 2 = 30 (cм²).

V. Итоги урока.

	1. АВСD – четырехугольник; 1) АВ + DС = АD + ВС, можно вписать окружность; 2) если вписана окружность, то АВ + + DС = АD + ВС.
	2. АВСD – равнобокая трапеция 1) АВ + DС = ВС + АD, если вписана окружность и наоборот. 2) 1 = 2 = 90°. 3) r = .