Структура системы с коррекцией многомерной следящей системы обратной связью по вектору состояния.
Понятие и определение наблюдаемости системы управления
Данное понятие характеризует принципиальную возможность получения информации о переменных вектора состояния ( в любой момент времени).
При построении систем управления такая информация необходима для организации векторной корректирующей обратной связи.
Оценка такой возможности особенно является важной для многомерных (многосвязных) систем.
Поскольку реальному измерению доступны не все переменные состояния, возникает задача определения остальных переменных с помощью вычислений (косвенное измерение) на основе непосредственного измерения некоторых других переменных и заранее известной информации(априорной информации). В качестве такой информации рассматриваются уравнения системы и их матрицы (математическая модель и параметры системы).
Различают понятия -"задача наблюдения" и "задача фильтрации". В дальнейшем под задачей наблюдения будем понимать, такую оценку вектора состояния, при которой ошибками реальных измерений переменных и возмущениями можно пренебречь. Если же при оценке вектора состояния учитываются данные факторы, то это - задача фильтрации. В дальнейшем ограничимся рассмотрением задачи наблюдения.
Процесс считается полностью наблюдаемым, если каждая переменная состояния вызывает изменение какой-либо координаты вектора выхода системы.
|
|
|
Более строго понятие наблюдаемости сформулировано Калманом.
Линейная система полностью наблюдаема на интервале времени, если все переменные состояния на данном интервале времени могут быть определены на основании измерения входных и выходных переменных в данном интервале времени
Наблюдаемость стационарной системы, представленной уравнениями состояния, имеющими общую форму записи.
Рассмотрим оценку наблюдаемости системы при общей форме уравнений состояния. Предварительно покажем, что если матрица коэффициентов системы имеет размерность «n»(n-переменных состояния), то для полного представления о процессе достаточно знания «n-1» производной выходной переменной.
В основе математического доказательства лежит теорема линейной алгебры Кэли- Гамильтона, утверждающая,
что любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению.
Пусть - 
- произвольное собственное значение квадратной матрицы А. Как известно, понятие собственное значение связано с понятием собственного вектора. Это такой вектор преобразование которого матрицей А сводится к умножению его на . То есть :
.
Преобразуя, получаем уравнение :
.
Левая часть данного уравнения содержит матрицу, которая называется характеристической матрицей матрицы А.
|
|
|
Характеристическое уравнение матрицы А получается из условия вырождения матрицы 
, то есть - равенства нулю определителя данной матрицы ( условие нетривиального решения системы однородных уравнения )
После раскрытия определителя и приравнивания его нулю получаем алгебраическое уравнение 
порядка относительно переменной , представленного в виде:
где
коэффициенты, зависящие от коэффициентов матрицы А
Согласно теореме Кели–Гамильтона замена переменной на матрицу сохраняет в полученном матричном уравнении условие равенства (ноль-нулевая матрица):
Разрешая это уравнение относительно первого слагаемого, получаем следствие этой теоремы:
которое утверждает, что
Матрицу 
всегда можно вычислить как линейную комбинацию предшествующих степеней этой матрицы.
Перейдем к задаче наблюдения.
Поскольку вынужденное движение при известном входном воздействии и матрицах системы полностью определено, то для оценки наблюдаемости системы достаточно рассматривать только уравнение свободного движения :
Продифференцируем второе уравнение состояния n-1 раз и, дополнив его исходным уравнением, получаем систему «n) уравнений:
|
|
|
Данная система уравнений содержит «n» неизвестных переменных состояния.
Умножим предыдущее уравнение следствия теоремы Кэли- Гамильтона, на матрицу С слева и вектор Х справа:
=
Выражение показывает, что вычисление последующих производных ( 
), всегда будет линейной комбинацией производных до «n-1» включительно (последнее слагаемое всегда выражается через линейную комбинацию предшествующих производных до( n-1) порядка включительно). Следовательно, для полного представления процесса в измерении производных выхода выше 
порядка нет необходимости.
Полученная система уравнений может рассматриваться как математическая основа для решения задачи наблюдения ( метод наблюдения.)
Так, для вычисления (оценки) переменных вектора состояния - необходимо измерить n-1 производных выходной переменной и затем решить систему линейных уравнений с n неизвестными.
Как известно из линейной алгебры, решение системы линейных уравнений однозначно, если матрица данной системы уравнений имеет "n" линейно независимых строк (или ранг равный "n"). Ранг - наибольший порядок подматрицы, имеющий ненулевой определитель. Это требование и является условием полной наблюдаемости линейной системы. Перепишем полученную систему уравнений в матричной форме:
|
|
|
где матрица 
образуется из подматриц, образуемых произведением матриц вида 
:
Принято в качестве критерия наблюдаемости рассматривается ранг транспонированной матрицы (при транспонировании ранг не изменяется). Учитывая правило транспонирования произведения матриц (подматрицы ), (например, 
),получаем:
Размерность матрицы ( n 
np) ( р- количество входных переменных системы)
В том частном случае когда матрица является квадратной (один выход ),то для полной наблюдаемости достаточно выполнения условий невырождения данной матрицы (определитель не должен быть равным нулю)
В этом случае для определения переменных вектора состояния (решение задачи наблюдения) необходимо вектор, образованный измеренными производными вектора выхода , умножить слева на обратную матрицу 
. Такое решение задачи наблюдения принято называть (используется информация о производных вектора выхода) - законом наблюдения в дифференциальной форме. При этом матрица наблюдаемости отвечает не только на вопрос о наблюдаемости системы (необходимое условие решения задачи наблюдения) , но является инструментом решения самой задачи наблюдения (представляет и достаточное условие).
Заметим, что практическое применение такого закона наблюдения (такой вычислительной процедуры наблюдения) для оценки вектора состояния весьма затруднительно, в связи с большой сложностью реального измерения производных выходного вектора системы.
Степенью наблюдаемости системы называют отношение числа наблюдаемых переменных к полному числу переменных состояния.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 271; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!