Методы вычисления неопределённых интегралов
1)Метод разложения (метод непосредственного интегрирования):основан на применении 3 и 4 правил интегрирования.
Примеры:1) 
;
2) 
.
2)Метод замены переменной (метод подстановки): основан на формуле
.
Метод замены переменной применяют в двух случаях: 1) если интеграл похож на табличный, но аргументом выступает не 
, а линейное выражение, зависящее от ; 2) если подынтегральное выражение содержит функцию и её производную.
Примеры:1)
;
2)
;
3) 
;
4) 
.
3)Метод интегрирования по частям: основан наформуле
,
где 
и 
- дифференцируемые функции от . Эта формула позволяет вычисление интеграла 
свести к вычислению интеграла 
, который может оказаться более простым для интегрирования.
Большую часть интегралов, вычисляемых интегрированием по частям, можно разбить на три группы:
1.Интегралы вида 
, 
, 
, 
, 
, где 
- многочлен, зависящий от . Для их вычисления следует положить равной одной из выше указанных функций, а 
.
Примеры:1) 
;
2) 
.
2. Интегралы вида 
, 
, 
, где - многочлен, зависящий от , 
- число. Для их вычисления следует положить 
, 
, 
, 
соответственно.
Пример: 
.
3. Интегралы вида 
, 
, где 
и 
- числа, вычисляются двукратным применением метода интегрирования по частям.
Пример: 
Выписывая начало и конец равенства, получаем
,
откуда
.
Определённый интеграл
Определение 12.Пусть функция 
определена и ограничена на отрезке 
и 
- произвольное разбиение этого отрезка на 
элементарных промежутков. Предположим, что на каждом отрезке 
выбрана точка 
, тогда сумма
|
|
|
называется интегральной суммой функции на отрезке , а её предел при 
, если он существует и конечен, называется определенным интегралом от функции в пределах от до и обозначается
Если определенный интеграл существует, то функция называется интегрируемой на отрезке .
Для вычисления определённого интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница:определённый интеграл от непрерывной на отрезке функции 
равен приращению любой её первообразной на этом отрезке:
.
Пример: 
.
Основные свойства определённого интеграла
1) 
.
2) 
.
3) Каковы бы ни были числа 
, имеет место равенство 
.
4) Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:
, где 
.
5) Определённыйинтеграл от суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) определённых интегралов этих функций:
.
6) Теорема о среднем: если функция непрерывна на отрезке , то найдётся такое значение 
из этого отрезка, что 
.
7) Если функция чётная, то 
, а если нечётная, то 
.
8) Замена переменной в определённом интеграле: 
, где 
новые пределы интегрирования находятся из условий 
, 
.
|
|
|
Примеры: 1) 
;
2) 
9) Интегрирование по частям в определённом интеграле: 
.
Пример: 
.
Определённый интеграл применяется для вычисления площадей плоских фигур, длин дуг, объёмов тел.
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 269; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!