Алгоритм исследования функций от двух переменных на экстремум
1.Вычислить частные производные первого порядка: 
и 
. Из системы 
найти точки, подозрительные на экстремум (стационарные точки). Пусть 
- стационарная точка функции 
(таких точек может быть несколько).
2.Вычислить частные производные второго порядка 
, 
, 
и их значения в стационарной точке: 
3.Найти значение дискриминанта 
.
а) Если 
, то в точке экстремум есть, при этом, если 
(или 
при 
), то в точке функция имеет минимум, а если 
(или 
при ) – максимум.
б) Если 
, то в точке экстремума нет.
в) Если 
, то требуются дополнительные исследования.
Примеры. Найдём экстремумы функций:
1) 
.
1. Вычислим частные производные первого порядка: 
, 
. Из системы 
находим точку 
, подозрительную на экстремум.
2. Найдём частные производные второго порядка: 
, 
, 
. Значения вторых производных не зависят от 
и 
, поэтому нет необходимости вычислять их величину в стационарной точке и 
, 
, 
.
3. Вычисляем значение дискриминанта 
. Следовательно, в точке нет экстремума.
2)
.
1. Частные производные первого порядка равны 
, 
. Точка 
- стационарная точка, так как её координаты являются решением системы 
2. Частные производные второго порядка равны 
, 
, 
. Вычислим их значения в стационарной точке: 
, 
, 
.
3. Дискриминант равен 
. Следовательно, в точке 
экстремум есть. Так как 
, - точка минимума, 
.
3) 
.
1. Вычислим частные производные первого порядка: 
, 
. Находим стационарные точки, используя необходимые условия: 
, 
, 
; 
, 
. Следовательно, 
, 
- стационарные точки.
|
|
|
2. Находим вторые частные производные: 
, 
, 
и их значения в стационарных точках: 
, 
, 
; 
, 
, 
.
3. 
. Следовательно, в точке нет экстремума.
. Следовательно, в точке экстремум есть. Так как 
, 
- точка максимума, 
.
4) 
.
1. Вычисляем частные производные первого порядка: 
, 
. Из системы 
находим стационарные точки:
, 
, 
; 
, 
; 
, 
; 
, 
. Следовательно, 
, 
, 
, 
- точки, подозрительные на экстремум.
2. Находим вторые частные производные: 
, 
, 
и их значения в стационарных точках: 
, 
, 
; , 
, ; 
, 
, 
; 
, 
, 
.
3. Вычисляем значения всех дискриминантов и делаем выводы. 
. Следовательно, в точке 
нет экстремума.
, поэтому в точке нет экстремума.
. Следовательно, в точке экстремум есть. Так как - точка минимума, 
.
, поэтому в точке экстремум есть. Так как 
- точка максимума, 
.
Тема 3. ИНТЕРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Основная задача дифференциального исчисления заключается в нахождении производной от заданной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу: дана функция 
, требуется найти функцию 
, такую, что 
. Функция при этом называется первообразной для функции .
Определение 11.Функция называется первообразной для функции на промежутке 
, если в каждой точке этого промежутка справедливо равенство .
|
|
|
Пример. Найдём первообразные для функции 
. 
,так как 
. Функции 
и
также являются первообразными для функции . Вообще, любая функция вида 
, где 
, является первообразной для функции .
Вывод: Если функция - первообразная для функции , то любая функция вида 
, где 
, также является первообразной для .
Совокупность всех первообразных для функции называется неопределённым интегралом от функции и обозначается 
:
, где 
.
Для вычисления неопределённых интегралов используют таблицу основных интегралов, правила интегрирования и методы интегрирования.
Таблица неопределенных интегралов
1. 
, где .
2. 
, .
3. 
, где 
, .
4. 
, .
5. 
, .
6. 
, где 
, .
7. 
, .
8. 
, .
9. 
, .
10. 
, .
11. 
, .
12. 
, .
13. 
, где 
, .
14. 
, где , .
15. 
, где 
, .
16. 
, где , .
Правила интегрирования
1. 
.
2. 
, где .
3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:
, где 
.
4. Интеграл суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) интегралов этих функций:
.
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 389; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!