Схема исследования и построения графика функции
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность-нечётность.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
4. Отыскать асимптоты графика функции.
5. Найти интервалы монотонности и точки экстремума.
6. Найти интервалы выпуклости-вогнутости графика функции и точки перегиба.
7. Построить график, учитывая проведенные выше исследования и, если необходимо, вычисляя значения функции в дополнительных точках.
Остановимсяподробнее на 5 и 7 пунктах.
Определение 6. Прямая линия называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки , лежащей на графике, до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).
Асимптоты делятся на вертикальные, горизонтальные и наклонные.
1) нахождение вертикальных асимптот: прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или . Вертикальные асимптоты существуют в точках разрыва функции либо на границе области определения функции.
2) нахождение горизонтальных асимптот: прямая является горизонтальной асимптотой графика функции , если или .
3) нахождение наклонных асимптот:
а) прямая является наклонной асимптотой графика функции при , если одновременно существуют пределы: , ;
б) прямая является наклонной асимптотой графика функции при , если одновременно существуют пределы , .
|
|
Исследование графика функции на выпуклость и вогнутость (выпуклость вверх-вниз) производится аналогично изучению монотонности и точек экстремума только с применением второй производной.
Определение 7.График функции называется выпуклым вверх (вниз) на промежутке , если он расположен выше (ниже) любой касательной к графику функции, проведенной в любой точке этого промежутка.
Достаточным условием выпуклости вверх (вниз) графика функции является следующая теорема: если функция имеет на интервале вторую производную и ( ) на , то график функции имеет на интервале выпуклость вверх (вниз).
Пример. Определим интервалы выпуклости-вогнутости графика функции .
Область определения функции – множество всех действительных чисел . Вторая производная функции равна . Находим критические точки второго рода (точки, в которых вторая производная обращается в ноль или не существует): . Разбиваем область определения функции на интервалы критическими точками второго рода и методом пробных точек исследуем знаки второй производной на каждом из интервалов.
Рис. 1
Функция выпукла вверх при , выпукла вниз при .
|
|
Определение 8.Если в точке график функции имеет касательную и при переходе через неё выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, то точка называется точкой перегиба.
Необходимым условием точки перегиба является следующая теорема: если функция имеет в точке непрерывную вторую производную и в точке есть перегиб графика этой функции, тогда .
Достаточное условие точки перегиба имеет вид: пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки и при переходе через точку слева направо производная меняет знак, тогда график функции имеет перегиб в точке .
Таким образом, точки перегиба следует искать среди точек области определения, в которых вторая производная обращается в ноль. При переходе через точку перегиба вторая производная обязана сменить знак.
Пример.Определим точки перегиба функции . Вторая производная обращается в ноль при . Функция имеет вторую производную в окрестности точки и при переходе через неё меняет свой знак. Следовательно, - точка перегиба графика функции .
Пример. Исследуем и построим график функции .
1. Область определения функции: .
2. Функция нечётная, так как .
|
|
3. Точки пересечения с осью ищем из уравнения или . Последнее уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью нет. График функции не имеет пересечений и с осью , так как .
4. Асимптоты:
1) вертикальные: точкой разрыва графика функции является . , следовательно, прямая является вертикальной асимптотой.
2) горизонтальные: . Следовательно, горизонтальных асимптот нет.
3) наклонные:
а) , ;
, .
Следовательно, прямая - наклонная асимптота при .
б) Аналогично, прямая - наклонная асимптота при .
5. Исследуем функцию на монотонность и точки экстремума. Производная функции равна . Производная обращается в ноль в точках .
Рис. 2
Функция возрастает при и , убывает при и . Точка является точкой минимума, ; является точкой максимума, .
6. Проведем изучение промежутков выпуклости вверх-вниз функции и точек перегиба. Вторая производная функции равна . Вторая производная не обращается в ноль.
Рис. 3
Функция выпукла вверх при , выпукла вниз при . Точек перегиба нет.
7. Построим график функции, учитывая проведённые выше исследования и вычисляя значения функции в дополнительных точках.
0,5 | -0,5 | 2 | -2 | |
2,5 | -2,5 | 2,5 | 2,5 |
Рис. 4
|
|
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 234; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!