Основные элементарные функции
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Е.А. Голубева
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Часть I
Учебно-методическое пособие
Рекомендовано объединённой учебно-методической комиссией
филиалов и ФПРК для студентов ННГУ, обучающихся по направлению
подготовки 080100 «Экономика»
Нижний Новгород
2013
УДК 517
ББК 22.16
Г-62
Г-62 Голубева Е.А. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть I: Учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2013. – 47 с.
Рецензент:
В учебно-методическом пособии в краткой форме излагается теоретический материал и даны примеры решения типовых задач по следующим разделам математического анализа: «Функции от одной переменной и их пределы», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление». Приведены вопросы для подготовки к зачёту и варианты контрольной работы.
Пособие предназначено для студентов ННГУ, обучающихся по направлению подготовки 080100 «Экономика». Оно поможет сориентироваться при написании контрольной работы, подготовке к практическим занятиям, экзамену или зачёту.
Ответственный за выпуск:
председатель объединённой учебно-методической комиссии
филиалов и ФПРК
к.т.н., доцент Д.Н. Шуваев
УДК 517
|
|
|
ББК 22.16
© Нижегородский государственный
Университет им. Н.И. Лобачевского, 2013
СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1. ФУНКЦИИ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ ПРЕДЕЛЫ…..... 4
Основные элементарные функции…………………………………... 4
Пределы……………………………………………………………….. 5
Правила вычисления пределов последовательностей и функций…. 6
Тема 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ……...……………..… 10
I. Функции от одной переменной…………………………..………. 10
Таблица производных……………………………………………. 10
Правила дифференцирования…………………………………… 11
Схема исследования и построения графика функции…………. 12
II. Функции нескольких переменных………………………………. 16
Алгоритм исследования функции двух переменных на
экстремум…………………………………………………………. 18
Тема 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ……………....…..................... 21
Таблица неопределённых интегралов……………………………… 21
Правила интегрирования……………………………………………. 22
Методы вычисления неопределённых интегралов......……………. 22
Определённый интеграл…………………………………………….. 24
Основные свойства определённого интеграла…………………….. 25
|
|
|
Приложения определённого интеграла к вычислению
площадей плоских фигур……………………...……………………. 26
Несобственные интегралы I рода…………………………………... 31
ВОПРОСЫ ДЛЯ ЗАЧЁТА………………………….………………..…….. 33
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ…………………………….. 35
ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………….... 46
Тема 1. ФУНКЦИИ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ ПРЕДЕЛЫ
Понятие функции одно из самых важных в математике. Оно лежит в основе построения всех математических дисциплин (алгебры, геометрии, теории вероятностей). При помощи функций моделируются многие естественные и экономические процессы и явления.
Определение 1. Пусть даны два непустых множества 
и 
. Соответствие, которое каждому элементу 
из множества сопоставляет один и толькоодин элемент 
из множества , называется функцией, определённой на множестве со значениями в .
Для обозначения функций используются буквы 
, 
, 
. Если функция сопоставляет элементу из элемент из , то пишут 
. Элемент называется аргументом функции , элемент из , сопоставленный элементу , - значением функции.
Основные элементарные функции
1) степенная: 
, 
.
2) логарифмическая: 
, 
.
|
|
|
3) показательная: 
, .
4) тригонометрические: 
, 
, 
, 
.
5) обратные тригонометрические: 
, 
, 
, 
.
Показательная и линейная функции находят применение в финансовых вычислениях. Большинство банковских операций состоит в выдаче денег «в рост» и «под процент». Наращенный (конечный) капитал 
вычисляется по формулам:
,
где 
- начальный капитал, 
- период начисления процентов, 
- процентная ставка.
По первой формуле начисляют простые проценты, по второй – сложные. В первой формуле используется линейная зависимость, во второй формуле – показательная.
Пример.Сбербанк начисляет ежемесячно по сложной процентной ставке 
годовых. Определить сумму вклада после 8 месяцев хранения, если первоначальный вклад составил 360 руб.
.
Пределы
Понятие предела очень сложное понятие современной математики. Это хорошо иллюстрируется исторической картиной его внедрения. Само понятие появилось в середине XVII века в работах великих математиков Ньютона и Лейбница, однако строгая теория пределов была создана лишь 200 лет спустя - в XIX веке - в трудах французского математика Коши.
Рассмотрим примеры вычисления пределов простейших функций: числовых последовательностей.
Числовой последовательностью называется функция от натурального аргумента, то есть функция, заданная на множестве натуральных чисел 
. Числовые последовательности принято обозначать следующим образом: 
. Например, 
, 
, 
- числовые последовательности.
|
|
|
Последовательность состоит из чисел 
Если изобразить эти точки на числовой прямой, то видно, что числовая последовательность движется к нулю. Говорят, что её предел равен нулю или записывают 
.
Аналогично, 
и 
; 
и 
.
Определение 2. Число 
называется пределом последовательности , если для любого 
существует номер 
такой, что при любых 
выполняется неравенство 
. Это обозначается следующим образом: 
.
Числовая последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен нулю. Например, последовательность бесконечно малая, так как .
Величина, обратная бесконечно малой, называется бесконечно большой. Например, 
- бесконечно большая числовая последовательность. Предел бесконечно большой последовательности обозначается 
или 
.
Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, а не имеющая конечного предела – расходящейся. и - сходящиеся числовые последовательности, - расходящаяся.
Предел функции от действительной переменной обозначается аналогично пределу числовой последовательности: 
.
Определение 3.Число 
называется пределом функции 
при , стремящемся к 
, если для любого положительного числа 
можно указать интервал, содержащий точку 
, такой, что всюду внутри этого интервала, за исключением, быть может, самой точки , будет выполняться неравенство 
.
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 275; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!