Исследование функции и построение графиков
Исследование функции целесообразно проводить по следующей схеме:
1. Найти область определения D(f) функции.
2. Установить четность или нечетность функции, ее периодичность.
Правило: 1) если f(–x) = f(x) на всей области определения, то f(x) – четная;
если f(–x) = – f(x) на всей области определения, то f(x) – нечетная;
2) если f(x) = f(x ± Т) на всей области определения, то f(x) – периодическая, число Т является периодом f(x).
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
Правило: 1) точки пересечения с осью ОХ устанавливаются решением уравнения f(x) = 0;
2) точки пересечения с осью ОУ устанавливаются нахождением значения функции в точке x = 0.
4. Найти стационарные точки функции.
Правило: стационарные точки функции определяются из решения уравнения
f'(x) = 0;
точки, в которых f'(x) = 0 или f'(x), не существуют или являются стационарными.
5. Найти промежутки монотонности функции.
Правило: исследовать знак f'(x) в промежутках, на которые стационарные точки делят область определения f(x) – функции.
В тех интервалах, где f'(x) > 0, функция возрастает, а где f'(x) < 0, – убывает.
6. Найти точки экстремума. Если при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то это точка максимума, если с минуса на плюс- то минимума.
7. Найти возможные точки перегиба графика функции.
Правило: 1) найти точки, в которых f''(x) = 0 или f''(x) не существует;
2) исследовать знак f''(x) в некоторой окрестности каждой из точек:
|
|
|
если f''(x) изменяет знак при переходе через такие точки, то они являются точками перегиба;
8. Найти направления выпуклости графика функции.
Правило: исследовать знак f''(x) в интервалах, на которые делят областьопределения функции f(x) возможные точки перегиба:
если f''(x) > 0 на рассматриваемом интервале, то график функции выпуклый вниз;
если f''(x) < 0 на рассматриваемом интервале, то график выпуклый вверх.
9. Найти асимптоты графика функции.
Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.
Для того чтобы прямая x = b была вертикальной асимптотой к кривой графика функции f(x), необходимо и достаточно выполнение условия 
.
Для того чтобы прямая 
была наклонной асимптотой к кривой графика функции f(x), необходимо и достаточно выполнение условия
, 
10. Построить график функции.
Пример 5.Исследовать и построить график функции 
Решение:
1. 
.
2. f(x)не является четной и не является нечетной, непериодическая: 
, 
3. Точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью ОХ: уравнение решается методом разложения на множители:
|
|
|
Таким образом, 
– корни уравнения, следовательно, значения функции в точках 
:
С осью ОУ: найдем значение функции в точкеx = 0:
4. Решая уравнение 
, определим стационарные точки функции.
5. Промежутки монотонности функции найдем, исследуя знак 
на интервалах 
При >0 на интервалах 
– возрастает;
при <0 на интервале (–1;1) 
– убывает.
6. Точки экстремума
7. Решая уравнение 
= 0, определим возможные точки перегиба графика функции:
8. Исследовав знак на числовой оси припереходе через точкуx = 0, определим направления выпуклости графика функции.
При < 0 на интервале (–¥; 0) график выпуклый верх.
При > 0 на интервале (0; +¥) график выпуклый вниз.
Приx = 0 
О(0; 2) – точка перегиба графика функции.
9. Асимптот у графика функции нет, поскольку 
10. Построение графика выполняется в соответствии с исследованиемфункции.
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 358; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!