Определение линейного функционала, Примеры.
Def Пусть - линейное нормированное пространство. Числовую функцию , определенную на называют функционалом .
Def Функционал называется линейным, если обладает свойствами:
1) аддитивности: .
2) Однородности: .
1.1. Примеры линейных функционалов
№ 1. Пусть есть -мерное пространство с элементами и - произвольный набор из фиксированных чисел. Тогда - линейный функционал в .
№ 2 В
№ 3. В более общий случай , где некоторая фиксированная непрерывная функция на . Линейность следует из основных свойств операции интегрирования.
№ 4. В рассмотрим другой функционал , т.е. фиксируем точку и для каждой функции функционал равен значению этой функции в данной точке. Этот функционал обычно записывают через -функцию Дирака
, где всюду, кроме , и интеграл от которой равен 1.
№ 5. Пусть - фиксированное
Определение нормы функционала.
Def Нормой линейного непрерывного функционала называется число ,
Равносильные определения .
Из последнего определения следует очевидное свойство .
Продолжение функционала, заданного на подпространстве. Теорема Хана-Банаха.
Более сложный случай возникает, если функционал задан на подмножестве , не являющимся всюду плотным в .
Теорема Хана-Банаха.
Пусть - линейное нормированное пространство, - его подпространство. Тогда для любого непрерывного функционала , заданного на , существует такой функционал , заданный на всем , что 1) , если
|
|
2) .
4.3. Следствие из теоремы Хана-Банаха.
Следствие 1. , , .
Следствие 1 утверждает существование в любом линейном нормированном пространстве линейного непрерывного функционала, не равного тождественно нулю..
Следствие 3. Пусть - фиксированный элемент из . Если , то .
Следствие 4. (Об отделимости элемента и подпространства)
Пусть - подпространство . и .
Тогда линейный функционал , определенный всюду на и такой, что
1)
2)
3) .
Следствие 5 (Критерий замкнутости системы). Для того чтобы система элементов была замкнутой необходимо и достаточно, чтобы из того, что функционал обращается в нуль на всех элементах следовало, что .
Сопряженное пространство.
Пусть - множество всех линейных непрерывных функционалов, определенных на . Введем в операции сложения и умножения на число
; .
Примем за норму элемента норму соответствующего функционала. Поскольку она также удовлетворяет всем аксиомам нормированного пространства, то - линейное нормированное пространство. Оно называется сопряженным пространством к .
Т.к. линейное нормированное пространство, то можно говорить о пространстве , непрерывных линейных функционалов на , т.е. о втором сопряженном пространстве к .
|
|
Def Те пространства для которых называются рефлексивными.
В этом случае и ( )
Вложение желательно определять равенством .
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 2319; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!