Степенные ряды. Теорема Абеля для степенных рядов. Радиус и круг сходимости.

Экзаменационные вопросы

Комплексные числа. Три формы записи, модуль, аргумент, арифметические операции, сопряжение, формула Муавра, извлечение корня.

Комплексное число — это число вида z = x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица, опре- деляемая следующим образом: i = √ −1 или i² = −1. Действительное число называется действительной частью комплексного числа и обозначается . Действительное число называется мнимой частью числа и обозначается .

Запись комплексного числа в виде , где и - действительные числа, называется алгебраической формойкомплексного числа. Например.

Если - модуль комплексного числа , а - его аргумент, то тригонометрической формойкомплексного числа называется выражение

Показательной формой комплексного числа называется выражение

Модуль комплексного числа.Комплексное число также можно изображать радиус-вектором (рис. 2). Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число , называется модулем этого комплексного числа.

Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чиселравны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.

Модуль вычисляется по формуле:

Аргумент комплексного числа.Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектора , соответствующим комплексному числу , называется аргументом этого числа и обозначается .

Аргумент комплексного числа связан с его действительной и мнимой частями соотношениями:

На практике для вычисления аргумента комплексного числа обычно пользуются формулой:

Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число , которое равно

То есть суммой двух комплексных чисел есть комплексное число, действительная и мнимая части которого есть суммой действительных и мнимых частей чисел-слагаемых соответственно.

Разностью двух комплексных чисел и называется комплексное число , действительная и мнимая части которого есть разностью действительных и мнимых частей чисел и соответственно:

Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число , равное

На практике чаще всего комплексные числа перемножают как алгебраические двучлены , просто раскрыв скобки, в полученном результате надо учесть, что .

Если комплексные числа и заданы в геометрической форме: , , то произведением этих чисел есть число

Частным двух комплексных чисел и называется число , которое задается соотношением:

На практике деление комплексных чисел проводят по следующей схеме:

1. сначала делимое и делитель умножают на число, комплексно сопряженное делителю, после чего делитель становится действительным числом;

2. в числителе умножают два комплексных числа;

3. полученную дробь почленно делят.

Если надо поделить комплексные числа и в геометрической форме: , то искомое число

То есть модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент - разности аргументов делимого и делителя.

Корнем-ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число , -я степень которого равна , то есть Корень -ой степени из комплексного числа обозначается символом и на множестве комплексных чисел имеет ровно значений.

Если комплексное число задано в тригонометрической форме: , то все значения корня -ой степени вычисляются по формуле Муавра (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик):

Геометрически все значения корня лежат на окружности радиуса с центром в начале координат и образуют правильный -угольник.

Если , то число называется комплексным сопряженным к числу .

То есть у комплексно сопряженных чисел действительные части равны, а мнимые отличаются знаком.

Например. Комплексно сопряженным к числу есть число .

На комплексной плоскости комплексно сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно действительной оси. Свойства комплексно сопряженных чисел:

1) Если , то можно сделать вывод, что рассматриваемое число является действительным.