Разложение аналитической функции в ряд Лорана.
Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням).
Функция f(z), аналитическая в кольце
r < | z - z0 | < R, 
представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство:
(1)
Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: 
(2)
где 
- произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z0; в частности,
- окружность 
Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f(z).
Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями 
называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана:
или 
Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши:
где 
r - радиус контура интегрирования в формуле (2).
На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f(z) - его суммы. Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z0 (r= 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z0 = 0, 
).
При построении разложений в ряд Лорана используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами.
Особые точки аналитической функции. Классификация.
Определение 1. Пусть функция f не регулярна в точке a∈C¯, но регулярна в некоторой проколотой окрестности этой точки. Тогда точку a называют изолированной особой точкой функции f.
|
|
|
Определение 2. Изолированная точкаa∈C¯ функции f : Boρ(a)→C называется
1)устранимой особой точкой, если существует конечный предел limz→af(z)∈C;
2)полюсом, если существует limz→af(z)=∞;
3)существенно особой точкой, если не существует конечного или бесконечного предела limz→af(z).
Вычеты. Теорема Коши.
Определение метрического пространства, примеры.
Def: Метрическим пространством называется пара 
, состоящая из некоторого множества (пространства) 
элементов (точек) и расстояния, т.е. однозначной неотрицательной действительной функции 
и определенной для любых 
и 
из и подчиненной трем аксиомам:
1) 
.
2) 
(симметрия).
3) 
(неравенство треугольника)
Определение банахова пространства, гильбертова пространства.
Поскольку предгильбертово пространство является линейным нормированным пространством, то в нем можно рассматривать понятие полноты по норме, определенной скалярным произведением.
Def Предгильбертово пространство, полное относительно нормы 
называется гильбертовым пространством.
Теорема. Любые два сепарабельных гильбертовых.
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 631; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!