ПАРНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ
В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
Особенности применения нелинейных регрессионных моделей
Разнообразие нелинейных моделей, описывающих динамику социально-экономических явлений велико:
- степенная и показательная модели;
- экспоненциальная модель;
- логарифмическая модель;
- модель на основе параболы второй степени;
- полиномиальная модель.
Среди множества нелинейных регрессионных моделей наиболее широкое распространение в эконометрических исследованиях получили полиномиальные модели.
, (3.1)
где y – результативная (зависимая) переменная (фактор-результат);
x – независимая переменная (фактор-признак);
a, b, c, d,…,k – параметры модели.
Основными этапами эконометрического исследования применительно к нелинейному регрессионному анализу являются следующие:
выбор формы уравнения взаимосвязи исследуемых факторов;
определение параметров уравнения регрессии;
оценка тесноты взаимосвязи (корреляции) исследуемых факторов;
оценка адекватности (статистической значимости) уравнения регрессии.
Кроме указанного, прикладные исследования могут включать этапы, связанные с проведением аналитического прогноза единичных значений результативной переменной, а также оценкой точности и достоверности прогноза.
Процедуру определения параметров нелинейной регрессии рассмотрим на примере параболы второй степени
|
|
|
. (3.2)
Учитывая линейность формы уравнения параболы, ее параметры также могут быть оценены методом наименьших квадратов (МНК):
.
В данном случае на основе МНК образуется система нормальных уравнений, имеющая следующий вид (3.3):
(3.3)
Метод подстановок в данном случае будет значительно громоздким и трудоемким с точки зрения вычислений, поэтому решим систему (3.3) методом Крамера. Для этого представим систему (3.3) в матричном виде:
(3.4)
Неизвестные параметры a, b и c определяются в результате решения системы (3.4)
(3.5)
где Δ – главный определитель системы линейных уравнений (3.3) и (3.4);
Δa, Δb, Δc – частные определители системы линейных уравнений (3.3) и (3.4).
По найденным значениям параметров a, b и c записывается искомое уравнение параболы.
Процедура оценки тесноты взаимосвязи исследуемых факторов применительно к нелинейным регрессиям имеет некоторое отличие от исследований на основе линейных моделей. Вместо линейного коэффициента корреляции степень тесноты взаимосвязи факторов нелинейной регрессии оценивается на основе корреляционного отношения (η):
|
|
|
(3.6)
где Dост - остаточная дисперсия, определяемая из уравнения регрессии 
;
Dобщ - общая дисперсия результативного признака (y);
. (3.7)
Величина показателя η находится в пределах: 
.
Оценка адекватности нелинейной регрессионной модели проводится на основе критерия Фишера по зависимостям (2.11) – (2.14), приведенным во втором разделе пособия.
В ходе процедуры дисперсионного анализа также целесообразно использовать таблицу вида 2.1.
В дополнение к процедурам оценки адекватности регрессионных моделей и дисперсионного анализа хотелось бы заметить, что, великому к сожалению, обозначения сумм квадратов в выражениях дисперсий в разных учебниках трактуются весьма своевольно. Так, по учебнику [Крыштановский А.О. "Анализ социологических данных с помощью пакета SPSS". - М., 2000. - 225 с.], сущность значений ESS и RSS определены с точностью наоборот:
ESS - Explained Sum of Squares;
|
|
|
RSS - Residuals Sum of Squares.
Такая путаница приводит к ошибочным формулам расчёта ESS и RSS, а также расчетам коэффициента детерминации (R-квадрата) и теоретических значений критерия Фишера. В качестве рекомендаций можно посоветовать использование русских обозначений дисперсий: факторная (Dфакт) и остаточная (Dост); рассчитывая их значения, исследователь точно будет знать используемые составляющие и их внутренне содержание.
Процедура эконометрического исследования на основе парной нелинейной регрессии детально рассмотрена на примере 3.1.
Пример 3.1.Имеются данные экспериментов по оценке прочностных свойств стеклопластика (фактор Y) в зависимости от температуры отверждения (фактор X) [11].
| № эксперимента | х | у |
| 1 | -3 | 5,3 |
| 2 | -2 | 5,7 |
| 3 | -1 | 6,1 |
| 4 | 0 | 6,8 |
| 5 | 1 | 7,2 |
| 6 | 2 | 8,1 |
| 7 | 3 | 9,3 |
| 8 | 4 | 10,5 |
| 9 | 5 | 11,5 |
| 10 | 6 | 13 |
Требуется:1. Построить уравнение нелинейной регрессии, описывающей зависимость коэффициента прочности (Y) от температуры (X);
2. Оценить адекватность модели (с помощью коэффициента аппроксимации и по критерию Фишера);
3. Произвести прогноз значения коэффициента прочности при температуре отверждения 8 ºС.
С целью определения формы взаимосвязи исследуемых факторов построим поле корреляции, представленное на рисунке 3.1.
|
|
|
Рисунок 3.1 – Изображение поля корреляции значений прочностных свойств
стеклопластика (Y) от температуры отверждения (X).
По виду корреляционного облака сделаем предположение о полиномиальной форме взаимосвязи исследуемых факторов на основе параболы второй степени.
Для определения параметров нелинейного уравнения и решения задачи в целом воспользуемся методом Крамера; данные расчета коэффициентов системы нормальных уравнений (3.3) представим в виде таблицы 3.2
Таблица 3.2 – Данные расчета составляющих системы нормальных уравнений
| № эксп. | х | у | х2 | х3 | х4 | y∙х | y∙х2 | Yxi | (Yi-Yxi)2 | (Yxi-Yср)2 |
| 1 | -3 | 5,3 | 9 | -27 | 81 | -15,9 | 47,7 | 5,35 | 0,00215 | 9,02 |
| 2 | -2 | 5,7 | 4 | -8 | 16 | -11,4 | 22,8 | 5,65 | 0,002685 | 7,30 |
| 3 | -1 | 6,1 | 1 | -1 | 1 | -6,1 | 6,1 | 6,09 | 0,000166 | 5,12 |
| 4 | 0 | 6,8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6,66 | 0,018719 | 2,85 |
| 5 | 1 | 7,2 | 1 | 1 | 1 | 7,2 | 7,2 | 7,38 | 0,031104 | 0,95 |
| 6 | 2 | 8,1 | 4 | 8 | 16 | 16,2 | 32,4 | 8,23 | 0,016044 | 0,02 |
| 7 | 3 | 9,3 | 9 | 27 | 81 | 27,9 | 83,7 | 9,21 | 0,00738 | 0,75 |
| 8 | 4 | 10,5 | 16 | 64 | 256 | 42 | 168 | 10,34 | 0,026038 | 3,95 |
| 9 | 5 | 11,5 | 25 | 125 | 625 | 57,5 | 287,5 | 11,60 | 0,010061 | 10,56 |
| 10 | 6 | 13 | 36 | 216 | 1296 | 78 | 468 | 13,00 | 8,26E-07 | 21,61 |
| Сумма | 15 | 83,5 | 105 | 405 | 2373 | 195,4 | 1123,4 | 0,114348 | 62,13 | |
| Среднее значение | 1,5 | 8,35 |
|
|
По результатам таблицы 3.2 запишем систему (3.4) в следующем виде:
,
.
Параметры a, b и c получаются в результате решения системы (3.4), а также выражений (3.5)
.
Расчетное значение критерия Фишера (Fрасч.) определяется по формуле (2.11) на основе данных расчета факторной и остаточной сумм квадратов (таблица (3.2))
Fрасч.= 1901,707.
Табличное (критическое) значение критерия (Fкр.) определяется на основе выражения (2.14) по данным приложения А, справочников [11,32] или таблицам Excel (раздел мастера функций «Статистические»): Fкр = (α=1-0,95; ν1= 2-1 ν2 = 10-3) = 4,737.
Так как расчетное значение критерия намного превосходит критическое, делаем вывод о правильности сделанного вначале исследований предположения о форме взаимосвязи прочностных свойств стеклопластика от температуры отверждения, а также о статистической значимости уравнения регрессии на основе параболы второй степени.
Прогноз значения коэффициента прочности стеклопластика при температуре отверждения 8 ºС произведем на основе полученного уравнения нелинейной регрессии путем подстановки значения x = 8: 
Для определения параметров других нелинейных регрессионных моделей используются подходы на основе линеаризации или замены переменных.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 412; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!