Друга аксіома або основний закон динаміки.

⇐ ПредыдущаяСтр 14 из 18Следующая ⇒

Позитивний коефіцієнт пропорційності m, характеризує інертні властивості матеріальної точки|точки| і називається масою точки|точки|.

Рисунок 1-1

Третя аксіома або закон про рівність сил дії і протидії.

Сили взаємодії двох матеріальних точок|точок| рівні по величині і протилежні за напрямом|направленню|.

Рисунок 1-2

Четверта аксіома або закон незалежної дії сил.

Аксіоми класичної механіки добре узгоджуються з|із| результатами дослідів.

Системи одиниць

1 кГ| = 9,8 Н 36 км/год = 10 м/сек 1 Т.е.м. = 9,8 кг

Диференціальні рівняння руху точки|точки|

Основне рівняння динаміки

можна записати так або так

Проектуючи рівняння на осі координат отримуємо|одержуємо|

оскільки|тому що| , , , то

Окремі випадки:

Основне рівняння динаміки можна спроектувати на природні рухомі|жваві,рухливі| осі.

Ця форма рівнянь зручна для дослідження деяких випадків польоту снарядів і ракет.

Основні завдання|задачі| динаміки

Перше або пряме завдання|задача|:

Відома маса (m) точки|точки| і закон її руху, необхідно знайти силу, що діє на точку|точку|.

Знаючи проекції сили на осі координат, визначуваний модуль сили і її направляючі|спрямовувати,скеровувати| косинуси:

; ; ; час.

Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|: ;

;

; .

Рисунок 1-3

- рівняння траєкторії в координатній формі (еліпс).

;

Друге або зворотне завдання|задача|:

Розглянемо|розглядуватимемо| рішення цієї задачі в декартовій системі координат. Сила залежить від часу, координат точки, її швидкості та інших причин.

, ,

Кожна з координат рухомої точки після|потім| інтеграції системи рівнянь залежить від часу і всіх шести довільних постійних, тобто

До цих рівнянь необхідно додати|добавляти| початкові умови:

Використовуючи ці початкові умови можна отримати|одержувати| шість алгебраїчних рівнянь для визначення шести довільних постійних .

Основні види прямолінійного руху точки|точки|

. Початкові умови .

Найбільш важливі|поважні| випадки

1 Сила постійна

Маємо рух який рівномірно змінюється (рух з|із| постійним прискоренням)

2 Сила залежить від часу

3 Сила залежить від координати або швидкості

Сила, залежна від координати - , створює пружні тіла при їх деформації (наприклад, стисла або розтягнута пружина) -

Сила, залежна від швидкості руху - це сила опору (повітря, води і так далі).

У цих випадках рішення задачі спрощується.

Лекція 2

Вільні коливання без опору

Диференціальне рівняння руху точки|точки| з|із| масою , закріпленою на пружному елементі, має вигляд|вид|:

або , де

Рисунок 2-1

Початкові умови мають вигляд|вид|: при , .

Це диференціальне рівняння вільних коливань матеріальної точки|точки| без опору.

Характеристичне рівняння має вигляд|вид|:

Коріння характеристичного рівняння дорівнює:

Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| має вигляд|вид|:

- амплітуда коливань;

де - кругова або циклічна частота коливань (власна частота). Вимірюється в .

- фазовий кут|ріг,куток| (або просто фаза);

- період коливань;

- частота коливань (1 кол|кілок|./cек=1 Гц)

Рисунок 2-2

Рух матеріальної точки|точки| – це вільні гармонійні коливання з|із| постійною амплітудою. Амплітуда коливань залежить від початкових умов і кругової частоти.

Лекція 3

ЗАГАЛЬНІ|спільні| ТЕОРЕМИ ДИНАМІКИ ТОЧКИ|точки|

Кількість руху точки|точки|

Кількість руху точки|точки| у фізиці часто називають імпульсом матеріальної точки|точки|.

Проекції кількості руху точки|точки| на прямокутні декартові осі координат дорівнюють:

, ,

Одиницею вимірювання|виміру| кількості руху в СІ є|з'являється,являється| –

Елементарний і повний|цілковитий| імпульс сили

Дія сили на матеріальну точку|точку| в перебігу часу можна охарактеризувати елементарним імпульсом сили .

Повний|цілковитий| імпульс сили за час , або імпульс сили , визначається по формулі . (Повний|цілковитий| інтеграл за час від елементарного імпульсу).

В окремому випадку, якщо сила постійна і по величині і за напрямом|направленню| ( ), .

Проекції імпульсу сили на прямокутні декартові осі координат дорівнюють:

Одиницею вимірювання|виміру| імпульсу в СІ є|з'являється,являється| –

Теорема про зміну кількості руху точки|точки|

Теорема. Похідна за часом від кількості руху точки|точки| дорівнює силі, що діє на точку|точку|.

Запишемо основний закон динаміки у вигляді|виді| . Оскільки|тому що| маса постійна, то внесемо її під знак похідної.

Тоді , (*)

що і потрібно було довести.

У проекціях на координатні осі рівняння (*) можна представити|уявляти| у вигляді|виді|:

Теорема імпульсів (у диференціальній формі). Диференціал від кількості руху точки|точки| дорівнює елементарному імпульсу сили, що діє на точку|точку|.

Помножимо ліву і праву частини|частки| рівняння (*) на і отримаємо|одержуватимемо|

(**)

У проекціях на координатні осі отримуємо|одержуємо|:

Теорема імпульсів (в інтегральній формі). Зміна кількості руху точки|точки| за будь-який проміжок часу дорівнює імпульсу сили за цей же проміжок часу.

Інтегруючи обидві частини|частки| рівняння (**) за часом в межах від нуля до отримуємо|одержуємо|:

У проекціях на координатні осі отримуємо|одержуємо|:

Момент кількості руху точки|точки|

Моментом кількості руху матеріальної точки|точки| відносно|відносно| деякого центру О називається вектор, який визначається рівністю

Момент кількості руху точки|точки| називають також кінетичним моментом.

Момент кількості руху відносно|відносно| будь-якої осі , що проходить через центр О, дорівнює проекції вектора кількості руху на цю вісь .

Якщо кількість руху задана своїми проекціями на осі координат і задані| координати точки в просторі, то момент кількості руху відносно початку координат обчислюється|обчисляє,вичисляє| таким чином:

Рисунок 3-1

Проекції моменту кількості руху на осі координат дорівнюють:

Одиницею вимірювання|виміру| кількості руху в СІ є|з'являється,являється| – .

Теорема про зміну моменту кількості руху точки|точки|

Доказ: Візьмемо диференціал від рівняння моменту кількості руху за часом

, отже (*)

що і потрібно було довести.

Для доказу досить спроектувати векторне рівняння (*) на цю вісь. Для осі це виглядатиме так:

Слідства з|із| теорем:

2. Якщо момент сили відносно|відносно| осі дорівнює нулю, то момент кількості руху відносно|відносно| цієї осі величина постійна.

Робота сили. Потужність

Одна з основних характеристик сили, що оцінюють дію сили на тіло при деякому його переміщенні.

Елементарна робота сили скалярна величина дорівнює добутку|добутку| елементарного переміщення на проекцію сили на це переміщення.

. ,

Рисунок 3-1

Одиницею вимірювання|виміру| роботи в СІ є|з'являється,являється| –

При при

Окремі випадки:

Елементарне переміщення дорівнює диференціалу радіус-вектора точки додатку|застосування| сили.

Елементарна робота сили дорівнює скалярному добутку|добутку| сили на елементарне переміщення або на диференціал радіус-вектора точки додатку|застосування| сили.

Елементарна робота сили дорівнює скалярному добутку|добутку| елементарного імпульсу сили на швидкість точки|точки|.

Якщо сила задана своїми проекціями ( ) на осі координат і елементарне переміщення задано своїми проекціями ( ) на осі координат, то елементарна робота сили дорівнює:

(аналітичний вираз|вираження| елементарної роботи).

Робота сили на будь-якому кінцевому|скінченному| переміщенні дорівнює узятому уздовж|вздовж,уподовж| цього переміщення інтегралу від елементарної роботи.

Потужність дорівнює скалярному добутку|добутку| сили на швидкість.

Одиницею вимірювання|виміру| потужності в СІ є|з'являється,являється| –

У техніці за одиницю сили береться .

Приклад|зразок|. Робота сили тяжіння

Тоді, , , і

Робота сили тяжіння дорівнює взятому із|із| знаком плюс або мінус добутку|добутку| модуля сили на вертикальне переміщення точки її застосування.

Рисунок 3-2

Кінетична енергія точки|точки|

Теорема про зміну кінетичній енергії точки|точки|

Теорема. Диференціал кінетичної енергії точки|точки| дорівнює елементарній роботі сили, що діє на точку|точку|.

Доказ: Основний закон динаміки .

Помножимо ліву і праву частини|частки| рівняння на : . Справа отримуємо|одержуємо| - елементарна робота.

- диференціал від кінетичної енергії.

що і потрібно було довести.

Теорема. Похідна за часом від кінетичної енергії точки|точки| дорівнює потужності, що підводиться до цієї точки|точки|.

Теорема. Зміна кінетичній енергії точки|точки| на будь-якому переміщенні дорівнює роботі сили, що діє на точку|точку| на цьому ж переміщенні.

Принцип Даламбера для матеріальної точки|точки|

- рівнодіюча|рівнодійна| активних сил, - рівнодіюча|рівнодійна| сил реакції зв'язків.

Якщо використовувати поняття сили інерції, то основний закон динаміки приймає вигляд|вид|:

Принцип Даламбера. При русі матеріальної точки|точки| активні сили і сили реакції зв'язків разом з силою інерції точки|точки| утворюють рівноважну систему сил.

Принцип Даламбера називають ще методом кінетостатики. Завдання|задачі| динаміки за допомогою цього методу зводяться до завдань|задач| статики.

Лекція 4

Динаміка скованої матеріальної точки|точки|

Скованою матеріальною точкою|точкою| називається точка|точка|, свобода руху якої обмежена.

Тіла, що обмежують свободу руху точки|точки| називаються зв'язками.