Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля» и их решение.
 |
[1.]Наити функцию Лагранжа двойного плоского маятника , находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g).
Решение. в качестве координат берём углы φ1 и φ2, которые нити l1 и l2 образуют с вертикалью. Тогда для точки m1 имеем:
чтобы найти кинетическую энергию второй точки, выражаем её декартовы координаты x2, y2 (начало координат в точке подвеса, ось y – по вертикали вниз) через углы φ1 и φ2:
после этого получим:
окончательно:
 |
2.Найти функцию Лагранжа плоского маятника, находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g) с массой m2, точка которого (с массой m1 в ней) может совершать движения по горизонтальной прямой.
Решение. Вводя координату x точки m1 и угол φ между нитью маятника и вертикалью, получим:
[3.] Найти функцию Гамильтона для одной материальной точки в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.
Решение. В декартовых координатах x, y, z:
В цилиндрических координатах r, φ, z:
В сферических координатах r, θ, φ:
[4.] Определить скобки Пуассона, составленные из декартовых компонент импульса р и момента импульса 
материальной частицы.
Ответ: 
=-pz
=0, 
=-py
5. Определить скобки Пуассона, составленные из компонент М.
|
|
|
Ответ: 
=-Mz, 
=-Mx , 
=-My.
6*. Показать, что
=0, 
,
где φ – любая скалярная функция координат и импульса частицы.
Указание. Скалярная функция может зависеть от компонент векторов r и pтолько в комбинациях r2,p2, 
. Поэтому
и аналогично для 
.
7*. Показать, что
= 
,
где f – векторная функция координат и импульса частицы, а n – единичный вектор в направлении оси z.
Указание. Произвольный вектор f(r, p) может быть написан в виде 
где 
- скалярные функции
8. Выразить амплитуду и начальную фазу колебаний через начальные значения x0, v0 координаты и скорости.
Ответ: 
, 
 |
9.Найти частоту колебаний точки с массой m, способной двигаться по прямой и прикреплённой к пружине, другой конец которой закреплён в точке А на расстоянии l от прямой. Пружина, имея длину l, натянута с силой F.
Решение. Потенциальная энергия пружины (с точностью до малых величин высшего порядка) равна произведению силы F на удлинение δl пружины. при x<<l имеем:
,
так что U=Fx2/2l. Поскольку кинетическая энергия есть 
то
|
|
|
10. Найти частоту колебаний маятника, точка подвеса которого (с массой m1 в ней) способна совершать движение в горизонтальном направлении.
 |
Решение. При φ<<1 находим:
Отсюда
.
 |
11. Определить малые колебания двойного плоского маятника.
Решение. Для малых колебаний 
найденная в задаче 1 параграфа 5 функция Лагранжа принимает вид :
.
Уравнения движения:
После подстановки (23,6) :
Корни характеристического уравнения:
Ответ: 
.
При 
частоты стремятся к пределам 
и 
, соответствуют независимым колебаниям двух маятников.
12. Вычислить градиент функции f(r), зависящей только от модуля радиус-вектора r.
Решение. 
13. Вычислить 
где p – постоянный вектор.
Решение. 
14. Пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса, вычислить интегралы:
если объем, который охватывает замкнутая поверхность, равен V; A –постоянный вектор.
Решение. Умножим искомый интеграл на постоянный вектор р:
|
|
|
Так как вектор рпроизволен, то
.
Аналогично показывается, что
15. В равномерно заряженном шаре с объемной плотностью заряда 
имеется шарообразная полость, центр которой расположен на расстоянии а от центра шара. Найти напряженность электрического поля внутри полости, внутри шара и снаружи шара. Радиусы шара и полости равны соответственно R и 
.
Решение. Из принципа суперпозиции полей следует, что искомая напряженность поля равна разности напряженности электрического поля, создаваемого шаром без полости, и напряженности поля зарядов, заполняющих при этом полость.
Поле внутри полости
поле внутри шара (но вне полости)
поле снаружи шара
где 
- радиус-вектор, проведенный из центра шара к центру полости.
[16.]Определить напряженность электрического поля внутри и снаружи равномерно заряженного шара. Объёмная плотность заряда равна , радиус шара R.
Решение.
при 
при 
17. Определить коэффициенты разложения потенциала точечного заряда в интеграл Фурье.
|
|
|
Решение. Потенциал точечного заряда является решением уравнения
. (1)
Представим 
и 
в виде разложений в интеграл Фурье:
(2)
Подставляя соотношения (2) в уравнение (1) и приравнивая в подынтегральных выражениях коэффициенты при 
, получим
.
18. Найти потенциал, создаваемый зарядом, распределенным в бесконечной среде по закону: 
Решение. 
.
19. Определить потенциал точечного заряда е, находящегося в однородной анизотропной среде с заданным тензором диэлектрической проницаемости.
Решение. Предположив, что заряд расположен в начале координат, решим уравнения
Направим оси декартовой системы координат по главным осям тензора диэлектрической проницаемости. Тогда
Подставим соотношения (2) в уравнение (1):
Заменой 
уравнение приводится к виду
Здесь использовано свойство δ-функции:
Решение уравнения (4) имеет вид
где
20. Найти напряженность магнитного поля внутри цилиндрической полости цилиндрического проводника, по которому течет ток, равномерно распределенный по его сечению с плотностьюj.Оси цилиндра, образующего полость, и цилиндрического проводника параллельны и находятся друг от друга на расстоянии а.
Решение. H=1/2
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 1811; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!