Объёмная плотность точечного заряда.

Полагаем  есть функция только координат.

Значит функция должна удовлетворять уравнению:
           

 - здесь k – волновой вектор

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии. Переход от микро к макро

С помощью этих уравнений можно описывать электромагнитное поле в среде. В среде будем ставить индекс « »=микро

 включает в себя как связанные, так и свободные заряды в веществе. Каждой точке пространства ставится в соответствие функция . Это значит, что мы заменяем реальную среду моделью – сплошной средой, т.е. мы свойства разных точек «размазываем» по пространству. Существуют следующие способы описания сплошной среды на основе реальной среды:

1. Усреднение по некоторому физическому объёму и времени .

2. Статистическое усреднение. Считаем что у нас есть макроскопически-идентичный ансамбль систем(т.е. все внешние условия одинаковы). Здесь производятся измерения для отдельных ансамблей, а потом происходит усреднение. Этот способ более предпочтителен.

Усреднение будем обозначать символами «< >». Отметим, что усреднение коммутативно с дифференциальными операторами.

Итак, усредняем:

Среда под действием внешнего электромагнитного поля поляризуется, т.е. реагирует на внешнее воздействие. В случае, когда отсутствует пространственная дисперсия, поляризация характеризуется векторами электрической и магнитной поляризации . Можно показать, что  и  выражаются через :

Введём обозначения: ;

Перенесём второе слагаемое из правой части в левую и объединим его с :

Итак, уравнения Максвелла для среды имеют вид:

§30.* Теорема Стокса.

 - теорема Стокса

 - Теорема Гаусса в операторной форме

Например

 - теорема Стокса в операторной форме.

У. 7.      Задача 14

14. Пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса, вычислить интегралы:

                                    ,

если объем, который охватывает замкнутая поверхность, равен V; A –постоянный вектор.

Решение. Умножим искомый интеграл на постоянный вектор р:

Так как вектор рпроизволен, то

                                                         .

Аналогично показывается, что

§31*. Функциональные соотношения различных полей

Здесь   - диэлектрическая проницаемость, а - диэлектрическая восприимчивость.

-разложение функции в ряд Маклорена.

Если же :

Возможно разложить  по векторам в ряд Маклорена:

Первое слагаемое – это индукция, связанная с собственным дипольным моментом в отсутствие внешнего поля (собственная поляризация) – пироэлектрики.

Второе слагаемое – линейные среды.

Третье слагаемое – учёт нелинейности среды.

Среды, для которых нелинейные члены в разложении индукции по полю имеют вес, называются нелинейными.

Линейные среды

Введём обозначение: , тогда

Аналогично вводятся тензоры:  

Для ферромагнетиков - учёт нелинейности.

Неоднородные среды

Среды, для которых материальные характеристики ( ) являются функциями координат.

Т.е. характеристики трансляционно неинвариантны.

Введём понятие сплошной среды. Сплошная среда – это среда в каждой точке которой измерение материальных характеристик даёт не нулевой результат. Сплошная среда – это модель. В реальной среде имеются микро-пустоты, т.е. вещество локализовано в некоторых точках пространства. Чтобы перейти к сплошной среде, нужно усреднить микро-параметры по достаточно большому объёму.

Анизотропные среды

Анизотропные среды (свойства), это такие среды, свойства которых зависят от направления, в котором это свойство измеряется.

Пусть в каком-то направлении исследуются оптические свойства среды. Затем мы повернули направление исследования, и оптические свойства изменились, т.е. оптические свойства зависят от угла поворота.

Так как свойства меняются, то они неинвариантны относительно вращения. Этим свойством обладает всякая анизотропная среда.

Для тензоров 2-го ранга есть исключения:

Кубические системы описываются тензорами изотропного вида, т.е.

Монокристалл – есть однородная анизотропная среда.

§32*. Условия на границе раздела двух сред.

Рассмотрим поведение электромагнитного поля при переходе через границу раздела двух сред с различными материальными характеристиками. Используем теорему Остроградского-Гаусса и теорему Стокса:

Теорема Остроградского-Гаусса:

т.е. совершается следующий переход:

Теорема Стокса:

Запишем первое и четвёртое уравнения Максвелла в среде:

Имеется граница раздела – поверхность, отделяющая одну среду от другой.

- нормаль к поверхности.

 - скачок функции на границе раздела двух сред.

Рассмотрим цилиндр, образующие которого перпендикулярны поверхности . По объёму  проинтегрируем первое и уравнение Максвелла:

Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса:

                                 При а следовательно и

В последнем равенстве мы воспользовались теоремой о среднем.

Аналогично:

Тогда:

Где ~h – боковая поверхность

В пределе, при ,

- заряд на поверхности раздела двух сред

Пусть в пределе , при этом

Поверхностная плотность заряда:

В результате получаем:

Если на поверхности нет свободных зарядов, то и , т.е.  - непрерывна.

Аналогично рассмотрев второе уравнение Максвелла

Получим

Т.е.  - всегда непрерывна, её скачок всегда равен нулю.

Теперь рассмотрим четвёртое уравнение Максвелла

, причём

Тогда по теореме Стокса:

Рассмотрим правую часть этого равенства:

Второе слагаемое, при  даёт 0.

- ток, протекающий через поверхность , причём ток положителен в направлении нормали

При ,

Воспользуемся теоремой о среднем:

Рассмотрим предельный переход при , тогда

- поверхностный ток, текущий через  перпендикулярно чертежу.

При   - ток, текущий по поверхности, в расчёте на длину.

В результате получаем:

Если , то  - непрерывна.

Аналогично для третьего уравнения Максвелла:

Имеем:

Т.е. тангенциальная составляющая электрического поля непрерывна.

Определим  

тогда

Ввиду произвольности , это выражение эквивалентно выражению:

Мы поможем в написании ваших работ!