Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве (КП).
Московский государственный институт электронной техники (Технический Университет).
А.Г.Фокин
Теоретическая механика и теория поля
(конспект лекций для ЭКТ-2)
Г.
[§1.] Обобщённые координаты. Понятие числа степеней свободы................................................................................................. 3
§2. Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве (КП).............................................................................. 4
[§3.] Принцип Гамильтона (наименьшего действия).Уравнения движения Лагранжа.......................................................... 5
§4. Функция Лагранжа и её свойства......................................................................................................................................................... 6
§5*. Правило суммирования Эйнштейна................................................................................................................................................. 6
[§6.] Функция Лагранжа простейших систем.......................................................................................................................................... 7
§У. 1. Задачи 1, 2................................................................................................................................................................................................. 9
§7. Интегралы движения в методе Лагранжа........................................................................................................................................ 10
[§8.] Свойства симметрии пространства и времени. Законы сохранения.................................................................................. 10
§9. Задача двух тел и сведение её к эквивалентной одномерной.................................................................................................. 12
§10. Особенности движения частицы в центральном поле............................................................................................................. 13
|
|
|
§11. Одномерный эффективный потенциал......................................................................................................................................... 15
[§12.] Обобщенный импульс. Преобразование Лежандра. Уравнения Гамильтона. Канонически сопряженные велечины.................................................................................................................................................................................................................................. 16
§13. Фазовое пространство........................................................................................................................................................................... 17
§14. Функция Гамильтона и её свойства................................................................................................................................................ 17
[§15]. Функция Гамильтона простейших систем................................................................................................................................. 18
§У. 2. Задачи 3..............................................................................................................................................19
§16. Интегралы движения в методе Гамильтона................................................................................................................................. 19
[§17.] Скобки Пуассона и их свойства...................................................................................................................................................... 19
§У. 3. Задачи 4-7.…......…………………………………………………………………………………... 21
|
|
|
§18. Малые колебания и свойства потенциальной энергии........................................................................................................... 22
[§19.] Колебания с одной степенью свободы. Характеристическое уравнение........................................................................ 23
§У. 4. Задачи 8-10.…..………………………………………………………………………………....…..24
§20*. Колебания с n степенями свободы. Дисперсионнон уравнение. Примеры 1-3............................................................. 25
§У. 5. Задача 11..…………………………………………………………………………………………..31
§21. Оператор 
.............................................................................................................................................................................................. 32
§У. 6. Задачи 12, 13.……...……...………………………………………………………………………..32
[§22.]Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме......................................................................................... 33
[§23.] Потенциалы электромагнитного поля в вакууме.................................................................................................................... 33
[§24.]Градиентная инвариантность........................................................................................................................................................... 34
§25*. 
-функция............................................................................................................................................................................................ 34
|
|
|
§26. Объёмная плотность точечного заряда.......................................................................................................................................... 35
§27. Закон сохранения заряда..................................................................................................................................................................... 36
§28. Типы калибровок. Уравнения Даламбера для потенциалов................................................................................................ 37
§29. Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии. Переход от микро к макро. 39
§30*. Теорема Стокса..................................................................................................................................................................................... 40
§У. 7. Задача 14.….………………………………………………………………………………………..40
§31*. Функциональные соотношения различных полей................................................................................................................. 41
§32*. Условия на границе раздела двух сред........................................................................................................................................ 43
§33. Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде................................................................ 46
§У. 8. Задачи 16-19.……...…………………..……………………………………………………………46
§34. Приближение линейного тока........................................................................................................................................................... 48
|
|
|
§У. 9. Задачи 20, 21.…………….…………………………………………………………………………48
[§35.] Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля.................................................................. 48
§36. Условия квазистационарности поля.............................................................................................................................................. 50
[§37.] Глубина проникновения квазистационарного электромагнитного поля..................................................................... 50
[§38.] Уравнения Максвелла для электромагнитных волн в вакууме......................................................................................... 51
[§39.] Волновое уравнение в случае вакуума......................................................................................................................................... 52
§40*. Решение волнового уравнения в случае плоской электромагнитной волны в вакууме.......................................... 52
§41. Плоская монохроматическая волна................................................................................................................................................. 55
§42. Уравнения Максвелла в случае плоской монохроматической волны в вакууме.......................................................... 55
§43. Разложение электромагнитных полей по плоским монохроматическим волнам......................................................... 56
§44. Калибровка Лоренца в случае однородной изотропной среды............................................................................................. 56
Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля»........................................................................................................... 56
Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля» и их решение............................................................................... 61
Экзаменационные вопросы по курсу «Теоретическая механика и теория поля».………...…………………………....67
Экзаменационные вопросы по курсу «Теоретическая механика и теория поля».(план минимум)............................... 68
Экзаменационные задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля».(план минимум)................................... 69
[§1.] Обобщённые координаты. Понятие числа степеней свободы.
Пусть число степеней свободы равно 
. Для задания пространственного положения системы необходимы координаты.
– размерность пространства.
– число материальных точек.
числу координат, с помощью которых можно задать положение материальных точек.
– радиус вектор а-той точки.
Если имеются связи, т.е. ограничения, накладываемые на движение системы, причём выраженные в форме уравнений, содержащих эти координаты, то число независимых координат будет меньше на число этих связей.
- все радиус векторы.
, 
, где k – число связей.
Такие связи называются голономными. Если присутствует время (t) в уравнениях, то связи – нестационарные.
Для вычисления числа степеней свободы можем записать формулу:
Любые независимые переменные, полностью определяющие пространственное положение системы, называются обобщёнными координатами.
Виды координат:
Сферические 
.
Декартовы 
.
И другие.
Графическое пояснение:
Вывод данных формул элементарен по Рис.1
- i-тая компонента.
Рассмотрим пример:
Дан математический маятник (Рис.2). 
- это n-мерный вектор. Здесь n=1, 
и уравнения связи имеют вид:
где 
.
- уравнение связи.
Определим число степеней свободы:
Тогда число степеней свободы равно единице.
Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве (КП).
КП– это n – мерное пространство обобщенных координат.
- радиус вектор в D-пространстве.
Реальному пространству ставим в соответствие КП
→ 
КП – служит для технического упрощения решения задач. Одна точка в КП изображает положение системы N материальных точек в реальном D-мерном пространстве.
Система материальных точек находится во внешнем поле, и они могут взаимодействовать между собой, поэтому движутся по каким-то траекториям. Изменение реальных координат приводит к изменению обобщенных координат. Движение реальных точек приводит к движению изображающей точки. Таким образом, эволюция системы (движение точек в реальном пространстве) описывается движением изображающей точки в КП. В результате в КП получаем траекторию.
Говоря о траектории системы, будем иметь в виду траекторию изображающей точки в КП.
Эволюция системы – это движение в реальном пространстве реальных точек по реальным траекториям.
- 
-тая обобщённая координата, 
.
Итак, имеется траектория в КП. Проведём касательный вектор 
- обобщенная скорость.
Чтобы описать движение системы надо знать положение точки в любой момент времени – закон движения:
Найти такую зависимость можно из закона Ньютона:
(2.1)
Решением этого уравнения будет некоторый закон движения 
.
Уравнение (2.1) – дифференциальное уравнение второго порядка, следовательно необходимо два начальных условия:
(2.2)
Уравнений должно быть столько, сколько степеней свободы.
Переменные вида (2.2) называются динамическими переменными – это координаты и скорости в данный момент времени. и - также динамические переменные. Зная 
и 
мы задаём механическое состояние системы в начальный момент времени.
Зная все силы, действующие на рассматриваемую систему, можно построить траекторию движения, если при этом решить уравнение движения.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 337; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!