Принцип Гамильтона (наименьшего действия).

Уравнения движения

Пусть - вариация координаты (произвольное изменение координаты в данный момент времени). Будем рассматривать бесконечно малые , следовательно, 2-я возможная траектория будет в непосредственной близости от 1-ой. Возможная траектория – траектория, которая может получиться при данных взаимодействиях. Возможных траекторий много, реальных – одна. В начальной и конечной точке траектории вариации координат равны нулю:

, т.е.  и  коммутативны:

Будем искать первую вариацию (линейную вариацию по вариацию аргумента).

Введём функционал:

 - функция Лагранжа, функция динамических переменных и времени.

Принцип наименьшего действия:

Из всех возможных траекторий, между данными точками, механической системы в конфигурационном пространстве реализуется та, для которой первая вариация действия равна нулю:

Найдём :

Тогда:

Первое слагаемое в правой части данного выражения равно нулю, тогда остаётся:

Координаты  независимы, вариации этих координат так же независимы. Условие независимости  означает, что все коэффициенты при  равны нулю. В результате получаем:

,

Мы получили уравнения движения Лагранжа. Это дифференциальные уравнения второго порядка, что бы их решить, нужны начальные условия:  и . В результате получим закон движения

 

Функция Лагранжа и её свойства.

 

Каждой системе ставится в соответствие функция динамических переменных , называемая функцией Лагранжа.

 

Свойства:

1. Уравнение движения Лагранжа инвариантно относительно следующего преобразования:

Надо доказать, что .

 

Рассмотрим вариацию :

 (вариации координат на концах траектории равны нулю).

Итак, вывод: функция Лагранжа может быть задана с точностью до полной производной по времени функции обобщённых координат и времени. Это не влияет на уравнения движения, а следовательно на решение задачи.

 

2. Энергии(T и U)

a)  (N- число материальных точек)

Т – кинетическая энергия, величина аддитивная.

б)

U – потенциальная энергия не аддитивна.

(U – аддитивна, когда нет взаимодействия между точками системы).

 

§5*. Правило суммирования Эйнштейна.

 

Знак суммы не пишется при дважды встречающемся индексе.

,

тогда:

- для стационарных связей

 - однородная функция своих переменных , у неё второй порядок, т.е.:

Соотношение Эйлера для однородной функции:

 

[§6.] Функция Лагранжа простейших систем.

 

Рассмотрим системы с одной степенью свободы.

1. Плоский математический маятник (Рис.3).

 - уравнение связи.

Число степеней свободы равно единице (см. §1).

 - кинетическая энергия.

U – потенциальная энергия.

U=mgh, где h – уровень подъёма над положением равновесия.

Имеем :

Рассмотрим случай малых колебаний:

 , φ – измеряется в радианах.

L – длина дуги, R – радиус окружности. Тогда:

Функция Лагранжа:

Уравнение движения:

          

Для решения дифференциального уравнения второго порядка необходимо два начальных условия:

1)

2)

 

2. Линейный гармонический осциллятор (Рис.4).

k – упругость пружины,

l₀ – длина пружины в недеформированном состоянии,

l – длина пружины в деформированном состоянии.

По закону Гука (для малых деформаций):

 - малые деформации.

По второму закону Ньютона:

,

, , где .

Решение аналогично случаю 1. Начальные условия:

1)

2)

 

3. Аналогично для вертикального гармонического осциллятора (Рис.5)

 (По закону Гука)

В данном случае:  - не является результирующей силой, а лишь возвращающей систему к положению равновесия.

 

У. 1.      Задачи 1,2

 

 

[1.]Наити функцию Лагранжа двойного плоского маятника , находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g).

Решение.  в качестве координат берём углы φ₁ и φ₂, которые нити l₁ и l₂ образуют с вертикалью. Тогда для точки m₁ имеем:

        

чтобы найти кинетическую энергию второй точки, выражаем её декартовы координаты x₂, y₂ (начало координат в точке подвеса, ось y – по вертикали вниз) через углы φ₁ и φ₂:

после этого получим:

окончательно:

2.Найти функцию Лагранжа плоского маятника, находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g) с массой m₂, точка которого (с массой m₁ в ней) может совершать движения по горизонтальной прямой.

 

Решение. Вводя координату x точки m₁ и угол φ между нитью маятника и вертикалью, получим:

---

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 484; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!