Функция Гамильтона и её свойства.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 10Следующая ⇒

Функция Лагранжа задаётся неоднозначно, т.е.

, где

приводят к одним и тем же уравнениям движения.

То же самое справедливо и для функции Гамильтона:

, где

[§15.] Функция Гамильтона простейших систем.

1. Свободная материальная точка:

Ее потенциальная энергия равна нулю, тогда

Получим для данного случая:

Используем , тогда получим:

2. Система свободных материальных точек:

3. Замкнутая система материальных точек

, где

4. материальных точек во внешнем поле:

5. материальных точек в стационарном внешнем поле:

- зависит только от

Отличие 5-го и 3-го случая заключается в том, что в 5-м случае -составляющая во внешнем поле, она аддитивна - ; если взаимодействие частиц с внешним полем одинаково, то .

6. Замкнутая система двух материальных точек:

в силу однородности и изотропности пространства можем записать:

У. 2. Задача 3

3. Найти функцию Гамильтона для одной материальной точки в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.

Решение. В декартовых координатах x, y, z:

В цилиндрических координатах r, φ, z:

В сферических координатах r, θ, φ:

Интегралы движения в методе Гамильтона.

Рассмотрим полную производную функцию обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени :

Используем уравнения движения Гамильтона :

Здесь мы ввели обозначение:

- скобки Пуассона

Если , то . В этом случае мы можем сформулировать условие того, что функция интеграл движения:

Чтобы была интегралом движения, скобки Пуассона должны обращаться в нуль.

[§17.] Скобки Пуассона и их свойства.

6. тождество Якоби

Докажем свойство 7:

используем свойства 5 и 6:

используем свойство 1:

используем свойство 3:

Теорема Пуассона:

Пусть и интегралы движения, это означает, что и , тогда согласно свойству 7:

Скобки Пуассона интегралов движения являются интегралом движения. Если мы знаем интегралы движения, то с помощью скобок Пуассона можно получать более удобные формы интегралов движения.

Рассмотрим частные случаи скобок Пуассона: