Малые колебания и свойства потенциальной энергии.

Рассмотрим систему с одной степенью свободы и исследуем функцию на экстремумы.

(отсюда получаем координаты точек равновесия для графика).

(21.1)

или ; ;

Итак: , т.к. , , , .

Отбросим в (21.1) слагаемые, начиная с третьего члена - получим параболический вид потенциальной энергии.

Если потенциальная энергия возрастает при удалении от положения равновесия, то в этом случае - точка устойчивого равновесия.

Рассмотрим точку

, - точка неустойчивого равновесия.

Колебания называются малыми, если в разложении последующие члены значительно меньше первых трёх:

Колебания, удовлетворяющие этому условию, называются линейными (гармоническими). Учёт последующих членов приводит к нелинейности или ангармоничности колебаний.

[§19.] Колебания с одной степенью свободы. Характеристическое уравнение.

- кинетическая энергия.

- потенциальная энергия.

Введём :

Функция Лагранжа:

Уравнение движения :

Получим: - простое линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка.

(22.1)

Для решения необходимы начальные условия:

Пусть (временная зависимость через экспоненту).

В общем случае , тогда получим характеристическое уравнение:

Имеем два корня, тогда общее решение можно записать в виде:

- должно быть вещественной величиной, следовательно .

Вернемся к уравнению (22.1). Имеем решение

, .

(22.2)

Уравнение (22.2) определяет частоты, возможные для данной системы - дисперсионное уравнение. Таким образом, получаем

- амплитуда.

- фаза.

, - константы, определяемые из начальных условий.

Примеры колебаний:

У. 4. Задачи 8-10

8. Выразить амплитуду и начальную фазу колебаний через начальные значения x₀, v₀ координаты и скорости.

Ответ:

9.Найти частоту колебаний точки с массой m, способной двигаться по прямой и прикреплённой к пружине, другой конец которой закреплён в точке А на расстоянии l от прямой. Пружина, имея длину l, натянута с силой F.

Решение. Потенциальная энергия пружины (с точностью до малых величин высшего порядка) равна произведению силы F на удлинение δl пружины. при x<<l имеем:

так что U=Fx²/2l. Поскольку кинетическая энергия есть то

10. Найти частоту колебаний маятника, точка подвеса которого (с массой m₁ в ней) способна совершать движение в горизонтальном направлении.

Решение. При φ<<1 находим:

Отсюда

§20*. Колебания с n степенями свободы. Дисперсионное уравнение. Примеры 1-3.

, где - -мерный вектор.

В точке - экстремум(минимум):

- условие минимума, оно понимается в смысле квадратичных форм, т.е. если умножить на вектор слева и на вектор справа, то образуется положительная скалярная величина:

, для

, где

Тогда функция Лагранжа имеет вид:

она описывает малые свободные гармонические колебания.

Уравнение движения для данной системы:

Аналогично можно получить:

Подставим полученные формулы в уравнение движения, тогда получим:

- система линейных однородных дифференциальных уравнений.

Эта система имеет нетривиальное решение, если:

=> характеристическое уравнение

Это матрицы с действительными коэффициентами.

имеет решений ,

, где - номер корня.

умножим это выражение на и просуммируем:

Получаем:

-матричное уравнение

пусть :

т.к. , тогда:

Из определения матриц и следует, что

Можно показать, что - вещественные числа, тогда

т.е. матрицы симметричные, значит:

(23.1)

Запишем два матричных уравнения:

Вычтем из первого уравнения второе.

Воспользуемся свойством (23.1) и сложим два этих уравнения:

т.к. корни различны, то при получаем .

Если , то , но она неопределённая. Эта неопределённость исключается нормировкой:

Эта нормировка позволяет найти неопределённый параметр для всех корней.

Таким образом:

Рассмотрим матрицу :

тогда:

, где

-диагональная матрица.

Тогда - преобразование с помощью которого переводится в единичную, а диагонализируется.

, где

Тогда:

Переменные - нормальные координаты, или главные колебания. Это простейшая форма колебаний.

- комплексная константа.

и находятся из начальных условий:

, и , т.е. - единичная матрица.

для того чтобы получить единицу перед надо левую и правую часть умножить на :

Для компоненты :

Начальные условия:

Схема решения задач:

1. Составить дисперсионное уравнение.

2. решаем, находим корни(собственные частоты)

3. находим решения для нормальных координат

4. из решения уравнений находим коэффициент :

характеристическое уравнение

дисперсионное уравнение

находим матрицу, искомый коэффициент.

5. зная и находим и

6. через 3. находим

7. находим

Примеры:

1. Рассмотрим колебательный LC-контур

- функция Лагранжа для данной системы.

2. Рассмотрим контур

- энергия, связанная с наличием индуктивности в системе,

Энергия, связанная с конденсатором ,

- емкости

- электростатическая индукция

Задачу эту необходимо упрощать.

3. Рассмотрим задачу:

Свободные колебания двухатомной молекулы.

- коэффициент взаимодействия.

здесь - удлинение по сравнению с равновесным состоянием пружины.

, - координаты точек в отсутствии деформации пружины.

, - координаты точек в деформированном состоянии

Можем найти потенциальную энергию.

Вводим переменные и

Найдём и :

1. Составим дисперсионное уравнение:

Решая его получим два корня:

2. Напишем дифференциальные уравнения для нормальных колебаний:

- здесь колебаний нет, т.к.

, где

3. Найдём матрицу .

Используем уравнения:

Пусть , тогда:

значит .

Аналогично рассуждая для получим:

и из условия нормировки:

, где

тогда:

, , но - диагональная, тогда:

Здесь - координата центра масс

Рассуждая аналогично для , получим:

, где

Пусть , , , тогда:

, тогда

Подставляя сюда выражения для и получим:

Итак, решение задачи:

У. 5. Задача 11

1. Определить малые колебания двойного плоского маятника.

Решение. Для малых колебаний

найденная в задаче 1 параграфа 6 функция Лагранжа принимает вид :

Уравнения движения:

После подстановки (23,6) :

Корни характеристического уравнения:

Ответ: .

При частоты стремятся к пределам и , соответствуют независимым колебаниям двух маятников.

§21. Оператор .

Оператор набла – векторный дифференциальный оператор. Оператор набла можно ввести по-другому:

Часто знак суммы опускают (правило суммирования Эйнштейна).

Запишем условие ортонормированности рассматриваемого базиса:

Действия оператора набла:

1. Оператор набла действует на скалярную функцию F:

или

2. Оператор набла скалярно действует на векторную функцию :

3. Оператор набла векторно умножается на векторную функцию :

Кроме векторного и скалярного, есть ещё смешенное произведение векторов:

- объем параллелепипеда.

- единичный антисимметричный тензор третьего ранга.

У. 6. Задачи 12, 13

12. Вычислить градиент функции f(r), зависящей только от модуля радиус-вектора r.

Решение.

13. Вычислить где p – постоянный вектор.

Решение.

[§22.] Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.

Будем использовать гауссову систему единиц.

и являются источниками поля. Уравнения Максвелла позволяют по заданным источникам рассчитать электромагнитное поле. Уравнениям Максвелла в дифференциальной форме ставятся в соответствие уравнения в интегральной форме.