Логарифмические частотные характеристики САУ

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 8Следующая ⇒

При всей информативности АФХ, которая одновременно определяет изменения и амплитуды и фазы выходного сигнала САУ относительно входного для разных значений частот, пользоваться ею не всегда удобно. Для определения частотных характеристик САУ по отношению к сигналу заданной частоты w необходимо найти соответствующую этой частоте точку на графике АФХ и далее рассчитать А(w) и j(w). Удобнее анализировать отдельно зависимость усиления (ослабления) амплитуды на выходе САУ и сдвига фазы, вносимого САУ, от частоты входного сигнала.

Прологарифмируем левую и правую части выражения частотной передаточной функции :

Логарифм частотной передаточной функции равен комплексному выражению, действительной частью которого является логарифм модуля (амплитуды), а мнимой – фаза.

Для практических целей удобнее пользоваться десятичными логарифмами и строить отдельно логарифмическую амплитудно-частотную L(w) = и логарифмическую фазочастотную j(w) характеристики САУ или звена.

Поскольку логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) показывает усиление амплитуды выходного сигнала САУ относительно входного, ее величину принято измерять в децибелах – стандартная единица оценки соотношения двух величин. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 бела – в 100 раз и т.д. Децибел равен одной десятой части бела. Если бы A() было отношением мощностей, то перед логарифмом в правой части формулы для перевода белов в децибелы должен был бы стоять множитель 10. Но А() представляет собой отношение не мощностей, а амплитуд выходной и входной величин. Увеличение этого отношения в десять раз будет соответствовать увеличению мощностей в сто раз, что соответствует двадцати децибелам. Поэтому в правой части формулы перевода L() в децибелы стоит множитель 20. Т.о., выражение для расчета ЛАЧХ в децибелах имеет вид:

(12)

При построения ЛАЧХ и логарифмической фазочастотной характеристики (ЛФЧХ) по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, т.е. нанесенные шкальные отметки соответствуют lg(w), но около отметок записывается собственное значение частоты w. Отрезок логарифмической шкалы, соответствующий увеличению частоты в десять раз (от 1 до 10; от 20 до 200 и т.д.), а значения ее логарифма – на единицу, называется декадой (рис. 68). По оси ординат откладывается значения ЛАЧХ в децибелах или значения ЛФЧХ в радианах или градусах. Для этой цели на ось ординат наносится равномерный масштаб.

Рис. 68

Рассмотрим логарифмические частотные характеристики САУ, для которой ранее был рассмотрен пример построения АФХ. ЛАЧХ для этой САУ, рассчитанная по формуле (12), имеет вид, приведенный на рис. 69.

Рис. 69

На графике (см. рис. 69) отмечены точки, соответствующие значениям частоты w = 0,1 и 1, для которых значения ЛАЧХ равны, соответственно:

L(0,1) = 22,806 дБ; L(1) = 6,5321 дБ.

Определим по значению ЛАЧХ с использованием формулы (12) усиление сигнала частоты 0,1:

Полученное значение А(w) практически равно величине, определенной по результатам анализа АФХ рассматриваемой САУ (см. рис. 64), т.е. значение L() = 22,806 дБ соответствует усилению амплитуды входного сигнала на выходе САУ в 13,813 раз.

Аналогично, для частоты равной 1 (см. для сравнения рис. 66):

ЛФЧХ рассматриваемой САУ, рассчитанная с применением (11) и построенная с использованием логарифмического масштаба для оси частот, имеет вид, приведенный на рис. 70. Как видно, значения j() для w = 0,1 и 1 совпадают со значениями, полученными ранее по результатам анализа АФХ (см. рис. 64 и рис. 66).

Рис. 70

Асимптотическая ЛАЧХ САУ

В теории автоматического управления широко используется метод анализа САУ на основе асимптотических ЛАЧХ, которые представляют собой ломаную линию, приближенно аппроксимирующую точную криволинейную ЛАЧХ, рассчитываемую по формуле (12). Асимптотические ЛАЧХ строятся вручную. С появлением компьютерных программ анализа практическая ценность методики асимптотических ЛАЧХ несколько снизилась, однако она и по сей день остается простейшим инструментом приближенных расчетов для инженера.

Рассмотрим основы методики построения асимптотической ЛАЧХ на примере апериодического звена первого порядка, частотная передаточная функция которого имеет вид:

Представим частотную передаточную функцию апериодического звена первого порядка в виде суммы действительной и мнимой части. Для этого необходимо избавиться от комплексной формы знаменателя дроби умножением числителя и знаменателя на выражение, комплексно сопряженное знаменателю. Учитывая, что j² = –1, получим:

;

Получим с использованием формул (11) и (12) формулу для расчета ЛАЧХ апериодического звена первого порядка:

;

(13)

Величина, обратная постоянной времени звена w_с= 1/Т называется частотой среза звена. Рассмотрим ЛАЧХ апериодического звена первого порядка в частотных диапазонах до и после частоты среза.

В первом частотном диапазоне при w < w_с, т.е. для w < 1/Т, в подкоренном выражении в знаменателе формулы (13) первое слагаемое оказывается меньше 1: , и, следовательно, все подкоренное выражение можно приближенно считать равным 1:

а ЛАЧХ, соответственно:

(14)

Из выражения (14) следует, что для в частотном диапазоне до частоты среза ЛАЧХ апериодического звена первого порядка можно приближенно считать постоянной. При построении соответствующий фрагмент приближенной ЛАЧХ будет иметь вид прямой линии, параллельной оси частот, проведенной на высоте 20×lg[k].

Во втором частотном диапазоне при w > w_с, т.е. для w > 1/Т, в подкоренном выражении в знаменателе формулы (13) первое слагаемое оказывается больше 1: , и, следовательно, все подкоренное выражение можно приближенно считать равным :

а ЛАЧХ, соответственно:

(15)

Второе слагаемое в выражении (15) при каждом десятикратном увеличении частоты w будет возрастать на 20 дБ:

следовательно, с учетом знака «минус» перед слагаемым , абсолютное значение L(w) начиная с частоты среза на каждой декаде, т.е. при каждом десятикратном увеличении частоты, уменьшается на 20 дБ и выражение для расчета ЛАЧХ в диапазоне после w_с можно записать как:

Т.о., ЛАЧХ апериодического звена первого порядка можно приближенно аппроксимировать двумя прямыми линиями: в частотном диапазоне до частоты среза прямой с нулевым наклоном, т.е. параллельной оси частот, а в частотном диапазоне после частоты среза прямой с наклоном
–20 дБ/дек. Такая приближенная характеристика и называется асимптотической ЛАЧХ.

Для примера на рис. 71 толстой линией показана асимптотическая ЛАЧХ, а тонкой линий – рассчитанная по формуле (13) точная ЛАЧХ апериодического звена первого порядка с коэффициентом статического преобразования k = 20 и постоянной времени Т = 0,5 с.

Рис. 71

Как видно из рис. 71, наибольшую погрешность аппроксимации имеет в области частоты среза, но даже в этой точке она не превышает 3 дБ, поэтому во многих практических расчетах ограничиваются построением асимптотической ЛАЧХ. Нетрудно убедиться, что в диапазоне частот больше частоты среза (w > 2) наклон асимптоты действительно соответствует –20 дБ/дек. На рис. 72 показано, что если от точки излома графика, соответствующей w_с = 2, отложить вправо по горизонтали отрезок, равный декаде, и вниз от полученной точки отрезок, равный 20 дБ, то мы получим точку на графике, соответствующую L(20). Т.о., значение L(w), начиная с частоты среза, за одну декаду действительно убывает на 20 дБ. Для простоты построений можно построить образцовый наклон –20 дБ/дек, проведя линию из точки, соответствующей 20 дБ на вертикальной оси, до нулевого значения (до горизонтальной оси) на частоте, в 10 раз большей, чем начало координат. На рис. 71 и рис. 72 этот наклон показан пунктирной линией, построенной на декаде от начала координат w = 0,01 до w = 0,1. При построении графика асимптотической ЛАЧХ апериодического звена первого порядка следует из точки, соответствующей частоте среза, провести линию, параллельную образцовому наклону –20 дБ/дек [2, 3, 7, 11, 14].

Рис. 72

На основании аналогичных рассуждений можно построить асимптотические ЛАЧХ всех типовых звеньев САУ.

Для построения асимптотических ЛАЧХ последовательных соединений типовых звеньев САУ пользуются следующими правилами [2, 7]:

1.Для всех звеньев первого и второго порядков определяются значения частот сопряжения, соответствующих частотам среза отдельных звеньев, т.е. величин, обратных постоянным времени звеньев: . Значения частот наносятся на логарифмическую ось.

Важно! Обратите внимание, что у звеньев второго порядка частота среза, и, соответственно, частота сопряжения одна. Определение частот среза типовых звеньев приведено в графе «Примечания» Приложения 1.

2.В частотном диапазоне до первой, минимальной частоты сопряжения из числа рассчитанных в п.1, т. е. для < _с₁ проводится первая асимптота. Для ее проведения необходимо определить два параметра: наклон и высоту проведения. Наклон первой асимптоты равен –20×дБ/дек, где – степень астатизма системы. При определении наклона первой асимптоты могут иметь место три случая:

- в составе последовательного соединения есть идеальные интегрирующие звенья, одно или несколько: в этом случае величина равна числу идеальных интегрирующих звеньев, взятому со знаком «плюс», т.е. наклон составляет –20×дБ/дек;

- в состав последовательного соединения входят идеальные дифференцирующие звенья, одно или несколько: в этом случае величина n равна числу идеальных дифференцирующих звеньев, взятому со знаком «минус», т.е. наклон составляет +20×дБ/дек;

- если в состав системы не входят ни идеальные интегрирующие, ни идеальные дифференцирующие звенья, n = 0 и асимптота в первом частотном диапазоне имеет нулевой наклон (параллельна оси частот).

При определении высоты проведения первой асимптоты могут иметь место два случая:

- если частота =1 входит в первый частотный диапазон < _с₁, т. е. если минимальная частота сопряжения из числа рассчитанных в п.1
_с₁>1, то высота проведения первой асимптоты на частоте = 1 рассчитывается по формуле L(1) = 20×lg[k], где k – коэффициент статического преобразования системы;

- если частота = 1 не входит в рассматриваемый диапазон, высота проведения асимптоты определяется на любой произвольной частоте
< _с1по формуле L(w)=20×lg[k/ⁿ];

3.В остальных частотных диапазонах угол наклона асимптотической ЛАЧХ меняется следующим образом:

- для апериодического звена первого порядка угол наклона изменяется на –20 дБ/дек;

- для колебательного звена: на –40 дБ/дек;

- для дифференцирующего звена первого порядка: на +20 дБ/дек;

- для дифференцирующего звена второго порядка: на +40 дБ/дек.

Важно! Указанные величины изменения наклона при построении графика алгебраически суммируются со значением предшествующего наклона. Например, если в первом, начальном диапазоне наклон характеристики составлял –20 дБ/дек, а первая частота сопряжения соответствует дифференцирующему звену первого порядка, то наклон в диапазоне от первой до второй частоты сопряжения составит дБ/дек.

Рассмотрим пример построения асимптотической ЛАЧХ САУ, приведенной эквивалентными преобразованиями к виду последовательного соединения звеньев. Пусть передаточная функция САУ имеет вид:

т.е. система представляет собой последовательное соединение идеального интегрирующего звена (n = 1), дифференцирующего звена первого порядка с постоянной времени Т₁ = 1 с и двух апериодических звеньев первого порядка с постоянными времени Т₂ = 0,1 с и Т₃ = 0,025 с соответственно. Коэффициент статического преобразования системы k равен 100.

Рассчитаем частоты сопряжения асимптотической ЛАЧХ:

- _с₁ = 1/Т₁ = 1 с^-1;

- _с₂ = 1/Т₂ = 1/0,1 = 10 с^-1;

- _с₃= 1/Т₃ = 1/0,025 = 40 с^-1.

Определим наклон проведения первой асимптоты в частотном диапазоне до первой частоты сопряжении: –20× = –20×1 = –20 дБ/дек.

Определим высоту проведения первой асимптоты для любой частоты, меньшей первой частоты сопряжения _с₁ = 1, например, для частоты
= 0,1 с^-1:

дБ.

В остальных частотных диапазонах угол наклона асимптоты будет определяться типом звена. Частота сопряжения _с₁ соответствует дифференцирующему звену, которое изменяет наклон ЛАЧХ на +20 дБ/дек, следовательно, с учетом наклона первой асимптоты, в диапазоне от первой до второй частоты сопряжения угол наклона ЛАЧХ составит дБ/дек. Вторая и третья частоты сопряжения соответствуют апериодическим звеньям, которые изменяют наклона на –20 дБ/дек, следовательно, наклон ЛАЧХ в третьем и четвертом диапазоне частот составит дБ/дек и дБ/дек соответственно. Результат построения асимптотической ЛАЧХ приведен на рис. 73. Для проведения асимптот использовались образцовые наклоны, построенные в координатных осях графика (показаны на рис. 73 пунктиром). Асимптоты строят параллельно образцовому наклону, проводя их от точки пересечения предыдущей асимптоты с вертикалью частоты сопряжения до пересечения с вертикалью следующей частоты сопряжения.

Рис. 73

Обратите внимание: что первая, минимальная частота сопряжения для рассматриваемой САУ составила _с₁ = 1 с^-1, следовательно высоту проведения первой асимптоты можно было рассчитать и для этой частоты, т.е. провести первую асимптоту с найденным наклоном до точки:

дБ.

По рис. 73 видно, что первая асимптота на частоте = 1 действительно доходит до этой точки.

Точная ЛАЧХ рассматриваемой САУ, рассчитанная по формуле (12), показана на рис. 74. Как видно (см. рис. 73), приближенная асимптотическая ЛАЧХ достаточно точно описывает реальную характеристику САУ.

Рис. 74

ПРИМЕРЫ асимптотических ЛАЧХ других САУ.

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 1554; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!